(Toán lớp 11) Bài 12: Dãy số
Các nội dung chính trong bài học này (Bấm để nhảy đến nội dung cần xem)
Dãy số
Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số bị chặn
Bài tập vận dụng
Tóm tắt bài học
1. Dãy số
* Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u(n)\), \(n ∈ N^*\) xếp theo thứ tự \(u(1), u(2), u(3),..., u(n)\), ...
+ Kí hiệu \(u(n)\) bởi \(u_n\) và gọi là số hạng thứ \(n\) hay số hạng tổng quát của dãy số, \(u_1\) gọi là số hạng đầu của dãy số.
+ Có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \(u_1,u_2,…,u_n,\)… hoặc dạng rút gọn \((u_n)\).
*Người ta thường cho dãy số theo các cách:
+ Cho số hạng tổng quát \(u(n)\).
+ Cho bằng công thức truy hồi, tức là:
- Cho một vài số hạng đầu của dãy
- Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua các số hạng đứng trước nó.
2. Dãy số tăng, dãy số giảm
* Dãy số \((u_n)\) gọi là tăng nếu \(u_n < u_{n+1}\) \(∀n∈N^*\),
gọi là giảm nếu \(u_n>u_{n+1}\) \(∀n∈N^*\).
* Để xét tính đơn điệu của dãy số \((u_n)\) , ta xét \(H=u_{n+1}-u_n\).
+ Nếu \(H>0\) \(∀n∈N^*\)⇒ dãy \( (u_n)\) tăng;
+ Nếu \(H<0\) \(∀n∈N^*\)⇒ dãy \((u_n)\) giảm.
* Khi \(u_n>0\) \(∀n∈N^*\), ta có thể xét \(T=\frac{u_{n+1}}{u_n}\) .
+ Nếu \(T>1\) \(∀n∈N^*\)⇒ dãy \((u_n)\) tăng;
+ Nếu \(T < 1\) \(∀n∈N^*\)⇒ dãy \((u_n)\) giảm.
3. Dãy số bị chặn
* Dãy số \((u_n)\) gọi là bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho: \( u_n < M\)\(∀n∈N^*\).
* Dãy số \((u_n)\) gọi là bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho: \(u_n > m\) \(∀n∈N^*\).
* Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(M\) sao cho: \(|u_n | < M\) \(∀n\)
Bài luyện tập chuyên sâu (Luyện tập với các cấp độ từ dễ đến khó của dạng bài này)
