(Toán lớp 11) Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Các nội dung chính trong bài học này (Bấm để nhảy đến nội dung cần xem)
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
Phương trình đẳng cấp
Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
Bài tập vận dụng
Tóm tắt bài học
Bài học giới thiệu về một số phương trình lượng giác thường gặp, điều kiện để các phương trình có nghiệm và cách giải.
1. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: \(a\sin x + b\cos x = c\) ; với \(a,b,c \in \mathbb{R}\) và \(a^2 + b^2 \neq 0\).
Phương trình có nghiệm khi \(a^2+b^2 \geq c^2\).
Cách giải: Chia hai vế cho \(\sqrt{a^2+b^2}\) và đặt \(\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ; \(\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
ta có:
\(cos\alpha.sinx + sin\alpha.cosx = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow\) \(sin(x+ \alpha)= \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
2. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
Là phương trình có dạng \(at^2+bt+c=0\) với t là một hàm số lượng giác.
Cách giải: Đặt t là hàm số lượng giác. Nếu t là hàm sin hay cos thì cần có điều kiện |t| ≤ 1
3. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng \({a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x = 0}\) .
Cách giải: Nhận thấy \(cos x \neq 0\) nên ta chia cả 2 vế cho \(cos^2x\).
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)
Cách giải:
Đặt \(t = \sin x + \cos x\) \(= \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\) với \(t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\)
Bài luyện tập chuyên sâu (Luyện tập với các cấp độ từ dễ đến khó của dạng bài này)
