Vị trí tương đối hai đường thẳng - Hệ số góc - Toán lớp 9

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $y=ax+b\,\,\,(a\neq0)\,\,(d)$                              và đường thẳng $y=a’x+b’\,\,\,(a’\neq0)\,\,(d’)$

a) $(d)\parallel(d’)\Leftrightarrow\begin{cases}a=a’\\b\neq b’\end{cases}$

b) $(d) ≡(d’)\Leftrightarrow\begin{cases}a=a’\\b= b’\end{cases}$

c) (d) cắt (d') $\Leftrightarrow a\neq a’$

Chú ý: Khi $a\neq a’$    và b = b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.

d) $(d)\perp (d’)\Leftrightarrow a.a’=-1$

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a) y = 3x + 4 và y = 3x - 10

Xét y = 3x + 4 có a = 3; b = 4

Xét y = 3x - 10 có a' = 3; b' = -10

Khi đó $\begin{cases}a=a’\\b\neq b’\end{cases}$                nên hai đường thẳng trên song song với nhau.

b) y = 2x + 7 và y = 3x + 8

Xét y = 2x + 7 có a = 2; b = 7

Xét y = 3x - 10 có a' = 3; b' = -10

Khi đó $a\neq a’$                    nên hai đường thẳng đó cắt nhau

c) y = 5x + 9 và $y = - \frac{1}{5}x + 9$

Xét y = 5x + 9 có a = 5; b = 9

Xét  $y = - \frac{1}{5}x + 9$                   có $a’ = - \frac{1}{5}; b’ = 9$

Ta có a.a' = - 1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau

2. Hệ số góc của đường thẳng y = a.x + b

a) Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

Giả sử $\alpha$    là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox. Khi đó α được xác định là góc tạo bởi phần phía trên trục Ox của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và chiều dương của trục Ox

 

Ví dụ: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 3x + 2 và trục Ox (làm tròn đến phút)

Giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2

Cho x = 0 thì y = 2 ta được điểm A(0; 2)

Cho y = 0 thì $x=-\frac{2}{3}$                ta được điểm $B(-\frac{2}{3};0)$

Đồ thị hàm số y = 3x + 2 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0; 2) và $B(-\frac{2}{3};0)$

Ta gọi góc giữa đường thẳng y = 3x + 2 và trục Ox là góc $\alpha$                . Khi đó $\widehat{AOB}=\alpha$

Xét tam giác vuông AOB có $tan\alpha=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$

Bằng cách tra bảng, ta tìm được $\alpha\approx71^034’$

b) Hệ số góc

- Đường  thẳng y = ax + b (b ≠ 0) có hệ số góc là $a = tan\alpha$             (trong đó $\alpha$    là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (b ≠ 0) và  trục Ox)
- Khi hệ số a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b  và trục Ox là góc nhọn
- Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù
Chú ý: Khi b = 0, ta có  hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta cũng nói rằng a là hệ số góc của đường thẳng y = ax

Ví dụ: Đường thẳng y = 3x + 5 có hệ số góc là 3

Đường thẳng y = -7x - 6 có hệ số góc là - 7

Đường thẳng y = 5x có hệ số góc là 5