Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Toán lớp 9

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

Cụ thế:  Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó: 

$AB^2=BH.BC\\\nAC^2=HC.BC$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính HC

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$AC^2=HC.BC$              (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay AC = 14; BC = 16, ta được $14^2=HC.16\Rightarrow HC=12,25$

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

a. Định lý 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Cụ thể: Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó:   $AH^2=BH.HC$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính AH

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$AH^2=BH.HC$      (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay BH = 2; HC = 8, ta được $AH^2=2.8=16\Rightarrow AH=4$

b. Định lý 3

Trong tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng

Cụ thể:Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó:   $AB.AC=AH.BC$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính AH

Tam giác ABC vuông tại A, nên $AB^2+AC^2=BC^2$               (Định lý Pitago)

Thay AB = 5; AC = 7 ta được: $BC^2=5^2+7^2=74\Rightarrow BC=\sqrt{74}$

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$AH.BC=AB.AC$                  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay $BC=\sqrt{74};AB=5;AC=7$                   ta được:

 $AH.\sqrt{74}=5.7\Rightarrow AH=\frac{35}{\sqrt{74}}$

c. Định lý 4

Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

Cụ thể: Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó:  $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính AH

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$                  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay AB = 6; AC = 8 ta được:

 $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}\Rightarrow AH^2=\frac{576}{25}\Rightarrow AH=\frac{24}{5}$