Giải hệ bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số - Toán lớp 9

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

a. Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đối một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm 2 bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ có một ẩn)

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)

b. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: Sử dụng quy tắc thế để biến đối hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy là nghiệm của hệ đã cho

c) Ví dụ:

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế $\begin{cases}x-3=3\\3x-4y=2\end{cases}$

$\begin{cases}x-3=3\\3x-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3x-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3(y+3)-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=y+3\\3y+9-4y=2\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=7\\x=7+3=10\end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (10; 7)

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a. Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho. Gồm 2 bước:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế 2 phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ nguyên phương trình kia)

b. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân cả 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình 1 ẩn)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy là nghiệm của hệ đã cho

c. Ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số $\begin{cases}3x-y=5\\2x+y=15\end{cases}$

$\begin{cases}3x-y=5\\2x+y=15\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}5x=20\\2x+y=15\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\2.4+y=15\end{cases}\\ \Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\y=7\end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) bằng (4; 7)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số $\begin{cases}x-2y=6\\2x+y=18\end{cases}$

$\begin{cases}x-2y=6\\2x+y=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}2x-4y=12\\2x+y=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}-5y=-6\\2x+y=18\end{cases}\\ \Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\2x+\frac{6}{5}=18\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\2x=\frac{84}{5}\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{5}\\x=\frac{42}{5}\end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) bằng $(\frac{42}{5};\frac{6}{5})$