Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình - Toán lớp 9

I. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình    

Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và theo các đại lượng đã biết
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên
Bước 3: Kiểm tra các điều kiện rồi kết luận

II. Các dạng bài và phương pháp giải

1. Dạng Toán chuyển động
a. Chuyển động trên bờ
- Toán chuyển động có 3 đại lượng: Quãng đường (S), vận tốc (v) và thời gian (t)

$S=v.t;\,v=\frac{S}{t};\,t=\frac{S}{v}$

- Các đơn vị của 3 đại lượng phải phù hợp với nhau. Nếu quãng đường tính bằng km; vận tốc tính bằng km/h thì thời gian phải tính bằng giờ.

- Trong toán chuyển động ngược chiều thì tổng quãng đường hai xe đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa 2 xe.

Ví dụ: Một du khách đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc tàu hỏa và ô tô biết rằng tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô là 5km/h

Giải

Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h, x > 0)
Quãng đường ô tô đi được là 4x (km)
Gọi vận tốc của tàu hỏa là y (km/h, y > x > 0)
Quãng đường tàu hỏa đi được là 7y (km)

Vì tàu hỏa đi nha hơn ô tô là 5 km/h nên ta có phương trình y - x = 5   (1)

Vì du khách đó đi được quãng đường là 640 km, nên ta có phương trình: 4x + 7y = 640   (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:

 $\begin{cases}y-x=5\\4x+7y=640\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}4y-4x=20\\4x+7y=640\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}4y-4x=20\\11y=660\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=55\\y=60\end{cases}$

Vậy vận tốc của ô tô là 55 (km/h), vận tốc tàu hỏa là 60 (km/h)

b. Chuyển động dòng nước

Ngoài các công thức trên, chuyển động dòng nước còn có các công thức sau:

- Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước

- Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng - vận tốc dòng nước

Ví dụ: Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì hai ca nô gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc xuôi dòng ca nô từ A lớn hơn vận tốc ngược dòng ca nô từ B là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của ca nô không đổi).

Giải:

Gọi vận tốc thật ca nô A, ca nô B lần lượt là x ,y (km/h) (x, y > 3)
Vận tốc xuôi dòng của ca nô A là x + 3 (km/h), vận tốc ca nô B là y – 3 (km/h)
Vì vận tốc xuôi dòng của ca nô A lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca nô B là 9 km/h nên ta có PT: x - y = 3 (1)

Sau 1 giờ 40 phút = $\frac{5}{3}$  giờ chúng gặp nhau nên ta có phương trình: $\frac{5}{3}(x+3)+\frac{5}{3}(y-3)=85\\\n\Leftrightarrow \frac{5}{3}x+\frac{5}{3}y=85$                                      (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

 $\begin{cases} x- y = 3\\\frac{5}{3}x+\frac{5}{3}y=85\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=27\\y=24\end{cases}$

Vậy vận tốc ca nô A là 27km/h; vận tốc ca nô B là 24 km/h

2. Dạng toán chung - riêng công việc

a. Phương pháp giải

- Toán làm chung công việc có 3 đại lượng tham gia là toàn bộ công việc, phần việc trong 1 đơn vị thời gian; thời gian

- Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$   công việc

- Xem toàn bộ công việc là 1

Ví dụ: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Giải:

Gọi thời gian đội A, đội B hoàn thành công việc một mình lần lượt là x, y (ngày) (x, y > 24)
Mỗi ngày, đội A làm được $\frac{1}{x}$ công việc, đội B làm được $\frac{1}{y}$  công việc
Do mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình   $\frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}$
Hai người làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được   công việc nên ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}$

Do đó, ta có hệ phương trình:

 $\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{40}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{60}\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=40\\y=60\end{cases}$

Vậy đội A làm một mình trong 40 ngày, đội B làm một mình trong 60 ngày

3. Toán liên quan đến chữ số

a. Phương pháp giải

Viết số dười dạng thập phân:

 $\overline{ab}=10.a+b;\,\,\,\overline{abc}=100a+10b+c\\0< a \leq9;a \in N\\0\leq b;c \leq 9; b,c\in N$

b. Ví dụ: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.

Giải:

Gọi chữ số hàng chục là x; chữ số hàng đơn vị là y (x; y là số nguyên $0< x; y \leq 9$       )

Giá trị của số cần tìm là $\overline{xy}=10x+y$

Giá trị của số viết theo thứ tự ngược lại là $\overline{yx}=10y+x$

Vì hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị nên ta có phương trình $2y-x=1\Leftrightarrow -x+2y=1$

Vì viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị nên ta có phương trình:

$(10x+y)-(10y+x)=27\Leftrightarrow x-y=3$

Khi đó, ta có hệ phương trình:

 $\begin{cases}-x+2y=1\\x-y=3\end{cases}\\\n\Leftrightarrow \begin{cases} x-y=3\\y=4 \end{cases}\\\n\Leftrightarrow \begin{cases} x=7\\y=4\end{cases}$

Vậy số cần tìm là 74.