Ôn tập: Khái niệm về phân số - Tính chất cơ bản của phân số - Toán lớp 5

1. Nhận biết ban đầu về phân số

1.1 Khái niệm

- Phân số chính là sự biểu diễn thương của hai số tự nhiên a, b (với b khác 0).

(hay nói cách khác đó là phép chia hai số tự nhiên)

- Phân số thường được viết dưới dạng: $\frac{a}{b}$(a là tử số, b là mẫu số)

1.2 Cấu tạo phân số

+ Phân số bao gồm có tử số và mẫu số, trong đó tử số là một số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang và mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.

1.3 Cách đọc, viết phân số

+ Đọc tử số trước rồi đọc "phần", sau đó mới đọc đến mẫu số. 

(Tức là đọc theo thứ tự từ trên xuống dưới).

Ví dụ: phân số $\frac{1}{2}$   đọc là: Một phần hai

          phân số $\frac{3}{5}$   đọc là: Ba phần năm

  + Viết phân số: ta viết tử số ở trên dấu gạch ngang rồi viết mẫu số dưới dấu gạch ngang, ví dụ: $\frac{5}{8}$

1.4 Chú ý

a, Có thể dùng phân số để ghi kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0. Phân số đó cũng được gọi là thương của phép chia đã cho.

Ví dụ:           3 : 4 = $\frac{3}{4}$
                    
                    4 : 5 = $\frac{4}{5}$    ; ...

b, Mọi số tự nhiên đều có thể viết dưới dạng phân số trong đó tử số chính là số tự nhiên đó và mẫu số bằng 1.

Ví dụ:              2  = $\frac{2}{1}$      ;     17 = $\frac{17}{1}$      ; ...

c, Số 1 có thể viết thành phân số có tử số và mẫu số bằng nhau và khác 0.
Ví dụ:             1 = $\frac{13}{13}$         ;            1 = $\frac{25}{25}$       ; ...

d,  Số 0 có thể viết thành phân số có tử số là 0 và mẫu số khác 0.
Ví dụ:           0 = $\frac{0}{4}$                ;                 0 = $\frac{0}{5}$       ; ...

2. Tính chất cơ bản của phân số

2.1. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0, thì được một phân số  bằng phân số đã cho.

Ví dụ:    $\frac{1}{3} = \frac{1\times2}{3\times2} = \frac{2}{6} $

2.2. Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0, thì được một phân số mới bằng phân số đã cho.

Ví dụ:     $\frac{5}{10} = \frac{5:5}{10:5} = \frac{1}{2} $

3. Ứng dụng tính chất cơ bản của phân số

3.1. Rút gọn phân số

- Rút gọn phân số để được một phân số có tử số và mẫu số bé đi mà phân số mới vẫn bằng phân số đã cho.

- Các bước khi rút gọn phân số:
 + Bước 1: xét xem cả tử số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.

 + Bước 2: chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho số tự nhiên vừa tìm được.

 + Bước 3: cứ làm như thế cho đến khi tìm được phân số tối giản.

(Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho số tự nhiên nào khác 1).

- Lưu ý: Phải rút gọn phân số cho đến khi không thể rút gọn được nữa (tức là nhận được phân số tối giản).

Ví dụ: Rút gọn phân số $\frac{18}{27}$
Ta thấy 18 và 27 cùng chia hết cho 3, ta có:
$\frac{18}{27}=\frac{18 :3}{27:3}=\frac{6}{9}$

Ta thấy 6 và 9 vẫn cùng đồng thời chia hết cho 3 nên ta rút gọn tiếp:

 $\frac{6}{9}=\frac{6:3}{9:3}=\frac{2}{3}$ (đây là phân số tối giản)

Chú ý: Có nhiều cách rút gọn phân số, cách nhanh nhất là chọn được số lớn nhất mà tử số và mẫu số của phân số đã cho đều chia hết cho số đó, chẳng hạn:

$\frac{18}{27}=\frac{18:9}{27:9}=\frac{2}{3}$

(nếu lấy tử số và mẫu số là 18 và 27 chia cho 3 thì ta phải rút gọn tới 2 lần mới nhận được phân số tối giản, vì thế ta chia cả tử số và mẫu số cho 9)
 

3.2. Quy đồng mẫu số các phân số

- Quy đồng mẫu số chính là đưa các phân số có mẫu số khác nhau về dạng phân số có cùng mẫu số.

- Thông thường với các phân số khác mẫu, ta thường hay quy đồng mẫu số theo 2 bước:
    + Bước 1: Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.
    + Bước 2: Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.

Ví dụ: Quy đồng mẫu số của $\frac{2}{5}$ và $\frac{4}{7}$

Ta có:

$\frac{2}{5}=\frac{2\times7}{5\times7}=\frac{14}{35}$

$\frac{4}{7}=\frac{4\times5}{7\times5}=\frac{20}{35}$

Vậy quy đồng mẫu số của $\frac{2}{5}$ và $\frac{4}{7}$  ta được  $\frac{14}{35}$ và $\frac{20}{35}$

* Tuy nhiên có những trường hợp đặc biệt:

- Trường hợp 1: 
  + Nếu trong các mẫu số đã cho, có 1 mẫu số nào đó chia hết cho tất cả các mẫu số còn lại, thì đó chính là mẫu số chung.
  + Lấy mẫu số chung chia cho các mẫu số còn lại để tìm thừa số phụ.
  + Sau đó nhân cả tử số và mẫu số của các phân số còn lại với thừa số phụ tương ứng.
  + Giữ nguyên phân số có mẫu số chia hết cho các mẫu số kia.

Ví dụ  : Quy đồng mẫu số của $\frac{2}{5}$ và $\frac{3}{10}$

+  Ta thấy 10 chia hết cho 5, nên mẫu số chung của hai phân số trên là 10

+ Vì 10 : 5 = 2 nên ta lấy cả tử số và mẫu số của phân số $\frac{2}{5}$  nhân với thừa số phụ là 2, ta được: 

$​​​​\frac{2}{5} = \frac{2\times2}{5\times2} = \frac{4}{10}$

+ Giữ nguyên phân số $\frac{3}{10}$

Vậy quy đồng mẫu số của $\frac{2}{5}$ và $\frac{3}{10}$ ta được  $\frac{4}{10}$ và $\frac{3}{10}$

- Trường hợp 2:

  + Nếu trong các mẫu số đã cho, không có mẫu số nào chia hết cho các mẫu số còn lại, thì mẫu số chung chính là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 và cùng chia hết cho tất cả các mẫu số còn lại.

  + Lấy mẫu số chung chia cho các mẫu số còn lại để tìm thừa số phụ.

  + Sau đó nhân cả tử số và mẫu số của các phân số còn lại với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu số của $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{3}$  và $\frac{3}{4}$ 
+ Tích của 3 mẫu số ở trên là: 2 x 3 x 4 = 24 nhưng ta không lấy mẫu số chung là 24

+  Mà ta thấy 12 chia hết cho cả 2; 3 và 4 nên mẫu số chung của 3 phân số trên là 12

+ Vì 12 : 2 = 6 nên ta lấy cả tử số và mẫu số của phân số $\frac{1}{2}$ nhân với thừa số phụ là 6, ta được: 
$\frac{1}{2} = \frac{1\times6}{2\times6}=\frac{6}{12}$
+ Vì 12 : 3 = 4 nên ta lấy cả tử số và mẫu số của phân số $\frac{2}{3}$  nhân với thừa số phụ là 4, ta được: 
$\frac{2}{3} = \frac{2\times4}{3\times4}=\frac{8}{12}$
+ Vì 12 : 4 = 3 nên ta lấy cả tử số và mẫu số của phân số $\frac{3}{4}$ nhân với thừa số phụ là 3, ta được: 
$\frac{3}{4} = \frac{3\times3}{4\times3}=\frac{9}{12}$

Vậy quy đồng mẫu số của $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{3}$  và $\frac{3}{4}$ ta được của $\frac{6}{12}$ ; $\frac{8}{12}$  và $\frac{9}{12}$