Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $x>0$

$\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0$$ \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Đặt $t = {\log _2}x$, $t \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$

${\left( {1 + t} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - 2 < 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt - 1 < 0$

${t^2} - 2mt - 1 < 0{\rm{ }} \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 1}}{{2t}} < {\rm{ }}m{\rm{ }}\left( {t > \frac{1}{2}} \right){\rm{ }}$

$f\'\left( x \right){\rm{ = }}\frac{{2{t^2} + 2}}{{4{t^2}}}{\rm{ > 0,}}\,\forall {\rm{t}}\,{\rm{ > }}\frac{1}{2}{\rm{ }}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)$

Theo yêu cầu bài toán $m > - \frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

${3^x} + {a^x} \ge {6^x} + {9^x} \Leftrightarrow {a^x} - {18^x} \ge {6^x} + {9^x} - {3^x} - {18^x} \Leftrightarrow {a^x} - {18^x} \ge {3^x}\left( {{2^x} - 1} \right) - {9^x}\left( {{2^x} - 1} \right)$

$ \Leftrightarrow {a^x} - {18^x} \ge - {3^x}\left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{3^x} - 1} \right)\,\,\,\left( * \right)$

Ta thấy $\left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{3^x} - 1} \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - {3^x}\left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{3^x} - 1} \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó $(*)$ đúng với mọi số thực $x$.

$ \Leftrightarrow {a^x} - {18^x} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{18}}} \right)^x} \ge 1,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{a}{{18}} = 1 \Leftrightarrow a = 18 \in \left( {16;18} \right]$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện:

 $\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \log _2^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}{x^2} - 7 \ge 0 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \log _2^2x - 6{\log _2}x - 7 \ge 0 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x < - 1\\ {\log _2}x > 7 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x \le \frac{1}{2}\\ x \ge 128 \end{array} \right. \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x \le \frac{1}{2}\\ x \ge 128 \end{array} \right.$

$\sqrt {\log _2^2x + 3{{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} - 7} < m\left( {{{\log }_4}{x^2} - 7} \right) \\\Leftrightarrow \sqrt {\log _2^2x - 6{{\log }_6}x - 7} < m\left( {{{\log }_2}x - 7} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)$

Đặt $t = {\log _2}x$, $t > 8$

$\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {t + 1} \right)\left( {t - 7} \right)} < m\left( {t - 7} \right) \\ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t - 1}}} < m,\,\forall t > 8$

Đặt $f\left( t \right) = \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t - 7}}} $

Theo yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {8;{\kern 1pt} + \infty } \right)} {\mkern 1mu} f\left( t \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t - 7}}} $ trên $\left( {8;{\mkern 1mu} + \infty } \right)$

$f’\left( t \right) = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {t - 7} \right)}^2}}}.\sqrt {\frac{{t - 7}}{{t + 1}}} < 0,{\mkern 1mu} \forall t > 8$. Vậy hàm số $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\left( {8;{\mkern 1mu} + \infty } \right)$

Do đó: $\mathop {\max }\limits_{\left( {8;{\kern 1pt} + \infty } \right)} {\mkern 1mu} f\left( t \right) = f\left( 8 \right) = 3 \Rightarrow m \ge 3$

Mà $m \in \left[ {0;{\mkern 1mu} 10} \right]$ nên $m \in \left\{ {3;{\mkern 1mu} 4;{\mkern 1mu} ...;{\mkern 1mu} 10} \right\}$

Vậy có tổng cộng 8 giá trị $m$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Do ${x^2} + \frac{1}{2} > 0,\,\forall x\mathbb{R}$

${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 - x}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{x^2} + \frac{1}{2} = 1\\\n\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + \frac{1}{2} > 1\\\n2{x^2} + x + 1 \le 1 - x\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\n0 < {x^2} + \frac{1}{2} < 1\\\n2{x^2} + x + 1 \ge 1 - x\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right)\\\nx \in \left[ { - 1;0} \right]\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx \in \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\\\nx \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\nx \in \left[ { - 1; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\\\nx \in \left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\n\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \cup \left[ {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\\n6 + x - {x^2} \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\ - 2 \le x \le 3\n\end{array} \right.$. Vậy TXĐ: $D = \left( {0;3} \right]$

$5x + \sqrt {6{x^2} + {x^3} - {x^4}} {\log _2}x > \left( {{x^2} - x} \right){\log _2}x + 5 + 5\sqrt {6 + x - {x^2}} $

$ \Leftrightarrow 5x + x\sqrt {6 + x - {x^2}} {\log _2}x > x\left( {x - 1} \right){\log _2}x + 5 + 5\sqrt {6 + x - {x^2}} $

$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {5 - x{{\log }_2}x} \right) + \sqrt {6 + x - {x^2}} \left( {x{{\log }_2}x - 5} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow \left( {5 - x{{\log }_2}x} \right)\left( {x - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} } \right) > 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n5 - x{\log _2}x > 0\\\nx - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} > 0\n\end{array} \right.\left( I \right)\\\n\left\{ \begin{array}{l}\n5 - x{\log _2}x < 0\\\nx - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} < 0\n\end{array} \right.\left( {II} \right)\n\end{array} \right.$

Giải hệ $(I)$

$\left\{ \begin{array}{l}\n5 - x{\log _2}x > 0\left( 1 \right)\\\nx - 1 - \sqrt {6 + x - {x^2}} > 0\left( 2 \right)\n\end{array} \right.$

Giải (1) $5 - x{\log _2}x > 0$
Xét hàm số $f\left( x \right) = x\left( {\frac{5}{x} - {{\log }_2}x} \right) = xg\left( x \right)$với $x \in \left( {0;\,3} \right]$

Ta có: $g\'\left( x \right) = - \frac{5}{{{x^2}}} - \frac{1}{{x\ln 2}} < 0\forall x \in \left( {0;3} \right]$

Vậy $f\left( x \right) = x\left( {\frac{5}{x} - {{\log }_2}x} \right) > 0\forall x \in \left( {0;3} \right]$

Xét phương trình (2): $\sqrt {6 + x - {x^2}} < x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n6 + x - {x^2} < {\left( {x - 1} \right)^2}\\\nx > 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2} - 3x - 5 > 0\\\nx > 1\n\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left[ \begin{array}{l}\nx < - 1\\\nx > \frac{5}{2}\n\end{array} \right.\\\nx > 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}$

Vậy nghiệm của hệ $(I)$ $D = \left( {\frac{5}{2};3} \right]$

Giải hệ $(II)$ vô nghiệm.

Vậy $S = \left( {\frac{5}{2},3} \right]$

$b - a = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\nx + 4 > 0\\\n{5^{{x^2}}} - {5^{\left| x \right|}} \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > - 4\\\nx \ne 0\\\nx \ne \pm 1\n\end{array} \right.$

+ $\left| {2x + 1} \right| - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left| {2x + 1} \right| = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx + 2 \ge 0\\\n\left[ \begin{array}{l}\n2x + 1 = x + 2\\\n2x + 1 = - x - 2\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge - 2\\\n\left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 1\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$

+ $1 - {\log _3}\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 4} \right) = 1 \Leftrightarrow x + 4 = 3 \Leftrightarrow x = - 1$

+ $[{5^{{x^2}}} - {5^{\left| x \right|}} \Leftrightarrow {5^{{x^2}}} = {5^{\left| x \right|}} \Leftrightarrow {x^2} = \left| x \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = {x^2}\\\nx = - {x^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = 1\\\nx = 0\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$

Bảng xét dấu ($x=0$ là nghiệm bội 2, $x=1$ là nghiệm bội 2, $x=-1$ là nghiệm bội 3)

Do $x \in \left( { - 4; - 1} \right)$ nên $M = - 2;\,m = - 3$, khi đó $M.m=6$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${3^{{x^2} - 9}} + \left( {{x^2} - 9} \right){5^{x + 1}} < 1$.

Nếu ${x^2} - 9 \ge 0$ ta có: ${3^{{x^2} - 9}} + \left( {{x^2} - 9} \right){5^{x + 1}} \ge {3^0} + 0 = 1$ không thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy ${3^{{x^2} - 9}} + \left( {{x^2} - 9} \right){5^{x + 1}} < 1 \Rightarrow {x^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 3.$

Nếu ${x^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 3$ thì ta có ${3^{{x^2} - 9}} + \left( {{x^2} - 9} \right){5^{x + 1}} < {3^0} = 1$. (Vì ${5^{x + 1}} > 0$ và ${x^2} - 9 < 0$).

Vậy ${3^{{x^2} - 9}} + \left( {{x^2} - 9} \right){5^{x + 1}} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 3 \Leftrightarrow x \in \left( { - 3;3} \right)$. Do đó $b - a = 3 - \left( { - 3} \right) = 6.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

${8^{\frac{x}{{x + 2}}}} > {36.3^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{x - 4}}{{x + 2}}}} > {3^{4 - x}} \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{{x + 2}}{\log _3}2 > 4 - x$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {\frac{{{{\log }_3}2}}{{x + 2}} + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx - 4 > 0\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx - 4 < 0\\\n\frac{{{{\log }_3}2}}{{x + 2}} + 1 < 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx > 4\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx < 4\\\n\frac{{{{\log }_3}2 + 2 + x}}{{x + 2}} < 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx > 4\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx < 4\\\n\frac{{{{\log }_3}18 + x}}{{x + 2}} < 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx > 4\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx < 4\\ - {\log _3}18 < x < - 2\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx > 4\\ - {\log _3}18 < x < - 2\n\end{array} \right.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0$

Đặt $t = {\log _2}x $, $t \in \left( {0;6} \right)$

Phương trình đã cho tương đương: ${t^2} + t + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {t^2} - t\,\,\,\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = - {t^2} - t$, $t \in \left( {0;6} \right)$

$f\'\left( t \right) = - 2t - 1 < 0,\,\forall t \in \left( {0;6} \right)$

Bất phương trình đã cho đúng với mọi $x \in \left( {1;64} \right)$ khi và chỉ khi $m \ge 0$