Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = {x^3} + 1$, phương trình $f({x^3} + 1) = m$ trở thành $f(t) = m$ . Do $y = {x^3} + 1$ là hàm đồng biến nên ta có bảng biến thiên hàm số $y = f(t)$ cũng là:

Để phương trình $f({x^3} + 1) = m$ có 4 nghiệm phân biệt thì $- 9 < m < 7$. Do đó có 15 giá trị thỏa mãn. 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = {x^2} - 2x - 1$. Khi đó phương trình trở thành $\left| {f\left( t \right)} \right| = 4$. Từ bảng biến thiên ta có:

Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có 4 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$ thỏa mãn ${x_1} < - 2 < {x_2} < 0 < {x_3} < 2 < {x_4}$. Ta có bảng biến thiên của hàm $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ là:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình $f\left( t \right) = 4$ có 6 nghiệm phân biệt ${t_1},{t_2},{t_3},{t_4},{t_5},{t_6}$ thỏa mãn ${t_1} < {x_1} < {t_2} < - 2 < {t_3} < {x_2} < 0 < {x_3} < {t_4} < 2 < {t_5} < {x_4} < {t_6}$.

Xét hàm số $y = {x^2} - 2x - 1$ có $y\' = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy mỗi phương trình ${x^2} - 2x - 1 = t$ với $t \in \left\{ {{t_3},{t_4},{t_5},{t_6}} \right\}$ có hai nghiệm phân biệt .

Vậy phương trình $\left| {f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right| = 4$ có 8 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = {x^2} + 2x - 2$, với $x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;1} \right]$

Phương trình $f\left( {{x^2} + 2x - 2} \right) = 3m + 1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;1} \right]$ khi và chỉ khi phương trình $f\left( t \right) = 3m + 1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 2;1} \right] \Leftrightarrow 0 \le 3m + 1 \le 4 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le m \le 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\left( * \right)$

Theo yêu cầu bài toán: $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 2.

$\left\{ \begin{array}{l}\n\Delta > 0\\\n4 + \left( {m - 3} \right)2 - 2m - 1 \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 13 > 0,\forall m$

Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$. G là trọng tâm của tam giác OAB nên:

$G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{3};\frac{{{y_1} + {y_2}}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{3};\frac{{{x_1} + {x_2} + 2m}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{3 - m}}{3};\frac{{3 - m + 2m}}{3}} \right) = G\left( {\frac{{3 - m}}{3};\frac{{3 + m}}{3}} \right)$

Theo yêu cầu bài toán: ${\left( {\frac{{3 - m}}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 + m}}{3}} \right)^2} - 3\left( {\frac{{3 + m}}{3}} \right) = 4 \Leftrightarrow 2{m^2} - 9m - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm = - 3\\\nm = \frac{{15}}{2}\n\end{array} \right.$. 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - 3{x^2} = m \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - m = 0\,\left( 1 \right)$.

Giả sử ${x_1};\,{x_2};\,{x_3}$ là 3 nghiệm của phương trình (1)$\Rightarrow A\left( {{x_1};\,m} \right),\,B\left( {{x_2};\,m} \right),\,C\left( {{x_3};\,m} \right)$.

Áp dụng hệ thức vi -ét cho phương trình bậc 3 ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3}&{\left( 1 \right)}\n\end{array}\\\n\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = 0}&{\left( 2 \right)}\n\end{array}\\\n\begin{array}{*{20}{c}}\n{{x_1}{x_2}{x_3} = m}&{\left( 3 \right)}\n\end{array}\n\end{array} \right.$.

Mặt khác $AB = 2BC \Rightarrow {x_2} - {x_1} = 2\left( {{x_3} - {x_2}} \right) \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}\n{3{x_2} - {x_1} - 2{x_3} = 0\,}&{\left( 4 \right)}\n\end{array}$.
Từ (1), (4)$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_1} = 6 - 5{x_2}\\\n{x_3} = 4{x_2} - 3\n\end{array} \right.$ thay vào (2) ta được:

$\left( {6 - 5{x_2}} \right){x_2} + {x_2}\left( {4{x_2} - 3} \right) + \left( {4{x_2} - 3} \right)\left( {6 - 5{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 7{x_2}^2 - 14{x_2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{x_2} = \frac{{7 - \sqrt 7 }}{7}\\\n{x_2} = \frac{{7 + \sqrt 7 }}{7}\n\end{array} \right.$

Với ${x_2} = \frac{{7 - \sqrt 7 }}{7}$ ta có ${x_1} = \frac{{7 + 5\sqrt 7 }}{7}$ và ${x_3} = \frac{{7 - 4\sqrt 7 }}{7}$ thay vào (3) ta được:$m = \frac{{ - 98 + 20\sqrt 7 }}{{49}}$.

Với ${x_2} = \frac{{7 + \sqrt 7 }}{7}$ ta có ${x_1} = \frac{{7 - 5\sqrt 7 }}{7}$ và ${x_3} = \frac{{7 + 4\sqrt 7 }}{7}$ thay vào (3) ta được: $m = \frac{{ - 98 - 20\sqrt 7 }}{{49}}$

Vậy tổng hai giá trị của $m$ bằng $\frac{{ - 98 + 20\sqrt 7 }}{{49}} - \frac{{98 + 20\sqrt 7 }}{{49}} = - 4$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\left| {f\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nf\left( {{x^2} - 2x} \right) = 3\\\nf\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 3\n\end{array} \right.$

Dựa vào đồ thị ta có:

+ Phương trình $f\left( {{x^2} - 2x} \right) = 3\,\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x = a\left( {a > 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - a = 0$. Vì $\Delta = 1 + a > 0$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình $f\left( {{x^2} - 2x} \right) = - 3\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x = b\left( {b < - 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - b = 0$. Vì $\Delta = 1 + b < 0$ nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình $\left| {f\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right| = 3$ là 2. 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} g’’\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\,2} \right)\\ 0 \in \left( { - 1;\,\,2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow g’’\left( 0 \right) < 0$

Mà $\left\{ \begin{array}{l} g’\left( 0 \right) = 0\\ g’’\left( 0 \right) < 0 \end{array} \right.$ nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số $g\left( x \right)$.

Quan sát đồ thị ta thấy phương án A thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét phương trình $f\left( {\sin x} \right) = - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \alpha \in \left( { - 1;0} \right)\\ \sin x = \beta \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.$.

Vì $x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \sin x \in \left( {0;\,1} \right)$. Suy ra với $x \in \left( {0;\pi } \right)$ thì $f\left( {\sin x} \right) = - 4$$\Leftrightarrow \sin x = \beta \in \left( {0;1} \right)$. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x \in \left( {0;\pi } \right)$ (thỏa mãn)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm:

${x^3} - 3{x^2} + 4 = mx + m \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - mx - m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - m + 4} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x + 1 = 0\\ {x^2} - 4x - m + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x = - 1\\ {x^2} - 4x - m + 4 = 0,(*) \end{array} \right.$

Đồ thị $(C)$ và đường thẳng $y = mx + m$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác $-1$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - \left( { - m + 4} \right) > 0\\ 1 + 4 - m + 4 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m \ne 9 \end{array} \right.$

Ta có: $A\left( { - 1;0} \right);B\left( {2 + \sqrt m ;3m + m\sqrt m } \right);C\left( {2 - \sqrt m ;3m - m\sqrt m } \right)$

$\overrightarrow {BC} = \left( { - 2\sqrt m ; - 2m\sqrt m } \right) \Rightarrow BC = \sqrt {4{m^3} + 4m} = 2\sqrt {m\left( {{m^2} + 1} \right)} $

Đường thẳng $BC:\frac{{x - 2 - \sqrt m }}{{ - 2\sqrt m }} = \frac{{y - 3m - m\sqrt m }}{{ - 2m\sqrt m }} \Leftrightarrow mx - y + m = 0$

Khoảng cách $d\left( {O;BC} \right) = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}$

Diện tích $\Delta OBC$ bằng 8, suy ra $S = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2\sqrt {m\left( {{m^2} + 1} \right)} .\frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 8$$\Leftrightarrow \sqrt m .\left| m \right| = 8 \Leftrightarrow {m^3} = 64 \Leftrightarrow m = 4$