Hướng dẫn giải (chi tiết)

Do diện tích hình vuông là 36 nên cạnh hình vuông là 6.

Gọi $A\left( {m;{{\log }_a}m} \right) \in y = {\log _a}x \Rightarrow B\left( {m - 6;{{\log }_a}m} \right)$ và $C\left( {m - 6;6 + {{\log }_a}m} \right)$.

Vì $B\left( {m - 6;{{\log }_a}m} \right) \in y = 2{\log _a}x \Rightarrow {\log _a}m = 2{\log _a}\left( {m - 6} \right)$ (1)

Vì $C\left( {m - 6;6 + {{\log }_a}m} \right) \in y = 3{\log _a}x \Rightarrow 6 + {\log _a}m = 3{\log _a}\left( {m - 6} \right)$ (2)

Giải (1) $ \Rightarrow m = 9$ thay vào (2) ta được $a = \sqrt[6]{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{{{2018}^{1 - x}} + \sqrt {2018} }} = \frac{{{{2018}^x}}}{{2018 + {{2018}^x}\sqrt {2018} }} = \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}$

$f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }} + \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}$$ = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$

Do $1 - 2018 = - 2017$ nên $f\left( { - 2017} \right) + f\left( {2018} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$, $f\left( { - 2016} \right) + f\left( {2017} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$, $f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$.

Vậy $f\left( { - 2017} \right) + f\left( { - 2016} \right) + ... + f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + ... + f\left( {2018} \right) = \sqrt {2018} $

Khi đó $S = 2018$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {{e^{m + 1}}} \right\}$

Ta có: $y\' = \frac{{ - {m^2} - m + 2}}{{x{{\left( {\ln x - m - 1} \right)}^2}}}$ ta có $x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right) \Rightarrow x > 0$ nên $x{\left( {\ln x - m - 1} \right)^2} > 0,\,\forall x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)$

Theo yêu cầu bài toán ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - {m^2} - m + 2 < 0\\\n{e^{m + 1}} \notin \left( {{e^2}; + \infty } \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left[ \begin{array}{l}\nm > 1\\\nm < - 2\n\end{array} \right.\\\nm + 1 \le 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 2$.

Chú ý: có thể đặt $t = \ln x$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\n2m + 1 - x > 0\\\nx - m > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx < 2m + 1\\\nx > m\n\end{array} \right.$.

Nếu $2m + 1 < m \Leftrightarrow m < - 1$ thì tập xác định của hàm số là $D = \emptyset $. Loại

Nếu $2m + 1 > m \Leftrightarrow m > - 1$ thì tập xác định của hàm số là $D = \left( {m;2m + 1} \right)$.

Để hàm số xác định trên $\left( {2;3} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\nm \le 2\\\n2m + 1 \ge 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \le 2\\\nm \ge 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m \le 2$. 

Vậy  $m = \left\{ {1;\,2} \right\}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giai đoạn 1: Sau đúng một năm, số tiền thu được ở mỗi ngân hàng:

Ngân hàng A: ${S_1} = {200.10^6}{\left( {1 + 0,73\% } \right)^{12}} = 218.240.829,2$ đồng.

Ngân hàng B: ${P_1} = {200.10^6}{\left( {1 + 2,1\% } \right)^4} = 217.336.647,7$ đồng.

Giai đoạn 2: Sau đúng hai năm số tiền thu được ở mỗi ngân hàng:

Ngân hàng A: ${S_2} = \left( {{S_1} + \frac{{{P_1}}}{2}} \right){\left( {1 + 0,73\% } \right)^{12}} = 356.724.623,2$ đồng.

Ngân hàng B: ${P_2} = \frac{{{P_1}}}{2}{\left( {1 + 2,1\% } \right)^4} = 118.088.046,1$ đồng.

Vậy số tiền lãi thu được sau hai năm: ${S_2} + {P_2} - {400.10^6} = 74.812.669,4$ đồng

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$y\' = \left( {3{x^2} + 6x + \left( {9 - 3m} \right)} \right){7^{{x^3} + 3{x^2} + \left( {9 - 3m} \right)x + 1}}.\ln 7$

Hàm số $y = {7^{{x^3} + 3{x^2} + \left( {9 - 3m} \right)x + 1}}$ đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$$ \Leftrightarrow y\' > 0,\,\forall x \in \left[ {0;\,1} \right]$.

$3{x^2} + 6x + \left( {9 - 3m} \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le {x^2} + 2x + 3,{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;1} \right]$

$m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left( {{x^2} + 2x + 3} \right),{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le 3$.

Do $m$ dương nên $m = \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có:

+ Hàm số $y = {a^x}$ và $y = {\log _b}x$ là hàm số đồng biến nên $a, b>1$.

+ Hàm số $y = {\log _c}x$ là hàm số nghịch biến nên $0 < c < 1$.

Vẽ đồ thị $y = {\log _a}x$ bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = {a^x}$ qua đường thẳng  $y = x$.

Vẽ đường thẳng $y=1$ cắt hai đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ và $y = {\log _b}x$ lần lượt tại hai điểm A và B. Từ đồ thị ta thấy ${x_A} < {x_B} \Leftrightarrow a < b$.

Vậy $c < a < b$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$f\'\left( x \right) = 2017.{\left( {{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}}} \right)^\prime } = 2017.{\left( {{x^2} - 1} \right)^\prime }.{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}} = 2017.2x.{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}}$

Ta có: $f\'\left( 1 \right) = 4034$ và $f\left( 1 \right) = 2017$ 

Do đó: $T = 2017.2x.{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}} - 2x.2017{{\rm{e}}^{{x^2} - 1}} + \frac{1}{{2017}}.2017 - 4034 = - 4033$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

 $x, y>0$

$xy \le 4y - 1 \Leftrightarrow xy + 1 \le 4y \le 4{y^2} + 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{y} \le 4$

Ta có: $P = \frac{{6\left( {2x + y} \right)}}{x} + \ln \frac{{x + 2y}}{y} = 12 + 6\frac{y}{x} + \ln \left( {\frac{x}{y} + 2} \right)$

Đặt $t = \frac{x}{y}$ $0 \le t \le 4$.

$P = f\left( t \right) = 12 + \frac{6}{t} + \ln \left( {t + 2} \right)$

$f\'\left( t \right) = - \frac{6}{{{t^2}}} + \frac{1}{{t + 2}} = \frac{{{t^2} - 6t - 12}}{{{t^2}\left( {t + 2} \right)}}$

$f\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 3 + \sqrt {21} \\\nt = 3 - \sqrt {21} \n\end{array} \right.$

Từ bảng biến thiên $GTNN\left( P \right) = \frac{{27}}{2} + \ln 6\,$ khi $t=4$

$ \Rightarrow a = \frac{{27}}{2},\,\,b = 6 \Rightarrow ab = 81$