Hướng dẫn giải (chi tiết)

Do diện tích hình vuông là 36 nên cạnh hình vuông là 6.

Gọi $A\left( {m;{{\log }_a}m} \right) \in y = {\log _a}x \Rightarrow B\left( {m - 6;{{\log }_a}m} \right)$ và $C\left( {m - 6;6 + {{\log }_a}m} \right)$.

Vì $B\left( {m - 6;{{\log }_a}m} \right) \in y = 2{\log _a}x \Rightarrow {\log _a}m = 2{\log _a}\left( {m - 6} \right)$ (1)

Vì $C\left( {m - 6;6 + {{\log }_a}m} \right) \in y = 3{\log _a}x \Rightarrow 6 + {\log _a}m = 3{\log _a}\left( {m - 6} \right)$ (2)

Giải (1) $\Rightarrow m = 9$ thay vào (2) ta được $a = \sqrt[6]{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{{{2018}^{1 - x}} + \sqrt {2018} }} = \frac{{{{2018}^x}}}{{2018 + {{2018}^x}\sqrt {2018} }} = \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}$

$f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{1}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }} + \frac{{{{2018}^x}}}{{\sqrt {2018} \left( {{{2018}^x} + \sqrt {2018} } \right)}}$$= \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$

Do $1 - 2018 = - 2017$ nên $f\left( { - 2017} \right) + f\left( {2018} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$, $f\left( { - 2016} \right) + f\left( {2017} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$, $f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = \frac{1}{{\sqrt {2018} }}$.

Vậy $f\left( { - 2017} \right) + f\left( { - 2016} \right) + ... + f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + ... + f\left( {2018} \right) = \sqrt {2018}$

Khi đó $S = 2018$