Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}$.

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \frac{{ - 1}}{4}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \frac{{ - 1}}{4}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \frac{{ - 1}}{4}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \frac{{ - 1}}{4}$.

Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} - x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} - x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Hàm số có hai  TCN: $y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$; $y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} - x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} }} = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} - x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} }} = + \infty $

Hàm số có hai TCĐ: $x=1$; $x = - \frac{1}{2}$

Vậy hàm số có tổng cộng 4 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 1}}{{x - \sqrt {{x^2} + 1} }} = 0$

Hàm số có TCN: $y=0$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{4 - {x^2}}} = 0$, TCĐ: $x=0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{4 - {x^2}}} = - \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{4 - {x^2}}} = + \infty$, TCN: $y=2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{1}{{4 - {x^2}}} = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{4 - {x^2}}} = - \infty$, TCN: $y=-2$.

Vậy hàm số $y = \frac{1}{{4 - {x^2}}}$ có đúng ba cực trị.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1$, TCN: $y=1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \infty $, TCĐ: $x=-1$.

Do đó đồ thị nhận $I\left( { - 1;1} \right)$ làm tâm đối xứng.

$y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \in D$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\, - 1} \right)$; $\left( {1;\, + \infty } \right)$.

Vậy chỉ có (1) và (3) là đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\\\n\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\n\end{array} \right.$. Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị $\left( C \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1$. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị $\left( C \right)$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - 1 + \sqrt {4{x^2} - 4} } \right) = + \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - 1 + \sqrt {4{x^2} - 4} } \right)\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4x + 5}}{{2x - 1 - \sqrt {4{x^2} - 4} }} = \frac{{ - 4}}{{2 + 2}} = - 1.$

Nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang $y=-1$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2018 + \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2018 + \frac{{\sqrt {1 - \frac{2}{x}} }}{{1 - \frac{2}{x}}}} \right) = 2019$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2018 + \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2018 + \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{2}{x}} }}{{1 - \frac{2}{x}}}} \right) = 2017$

Hàm số có hai đường tiệm cận ngang: $y=2019$ và $y=2017$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2018 + \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2018 + \frac{{\sqrt x \sqrt {x - 2} }}{{{{\sqrt {x - 2} }^2}}}} \right) = + \infty $

Hàm số có một đường tiệm cận đứng: $x=2$.

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} }} = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {2{x^2} - 3x + 1} }} = + \infty $.

Vậy hàm số có hai đường tiệm cận đứng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}\left( {\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} - \frac{2}{x}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}} = 1$, TCĐ: $x=1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2}\left( {\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} - \frac{2}{x}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}} = - 1$, TCĐ: $x=-1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}} = + \infty $, TCN: $x=-1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}} = - \infty $

Vậy hàm số có một TCĐ và hai TCN.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left[ { - \sqrt 6 ;\,\sqrt 6 } \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 1 \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 1 \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} + 3x - 4}} = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 1 \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 1 \right)}^ - }} \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} + 3x - 4}} = - \infty$

Vậy hàm số có một đường TCĐ: $x=1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left( { - \infty ;\, - \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right) \cup \left( {1;\, + \infty } \right)$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = - \infty$, TCĐ: $x=1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\frac{4}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} + 3 + \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {\frac{4}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} + 3 + \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3$, TCN: $y=3$.

Vậy hàm số có 2 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 2017}}{{\left| x \right| + 1}} = 2$, TCN: $y=2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 2017}}{{\left| x \right| + 1}} = - 2$, TCN: $y=-2$

Vậy hàm số có hai đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$y = \frac{3}{{2 - x}}\left( {{C_1}} \right)\,$, có TCĐ: $x=2$.

$y = \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}\left( {{C_2}} \right)$, có TCĐ: $x=-2$.

$y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3{\rm{x}} + 2}} = \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\left( {{C_3}} \right)$, có TCĐ: $x=1$.

Vậy chỉ có $\left( {{C_1}} \right)$ nhận đường thẳng $x=2$ làm TCĐ.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right| - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x - 2}}{{x + 1}} = - 1 \Rightarrow y = - 1$ là TCN

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left| x \right| - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1 \Rightarrow y = 1$ là TCN.

Vậy hàm số $y = \frac{{\left| x \right| - 2}}{{x + 1}}$ có đúng hai đường TCN.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + m} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{m}{{{x^2}}}} }} = - 1$

$\begin{array}{l}\n\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + m} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{m}{{{x^2}}}} }} = 1\\\n\n\end{array}$

Do đó hàm số luôn có 2 đường tiệm cận ngang. $y=1; y=-1$.

Vậy để hàm số có 3 đường tiệm cận thì chỉ cần có thêm 1 tiệm cận đứng.

TH1: ${x^2} + m = 0$ có nghiệm kép khác 3$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m = 0}\\\n{f\left( 3 \right) \ne 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m = 0}\\\n{m \ne - 9}\n\end{array}} \right.} \right.$

TH2: ${x^2} + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 3$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m < 0}\\\n{f\left( 3 \right) = 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m < 0}\\\n{m = - 9}\n\end{array}} \right.} \right.$

Thật vậy ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {x + 3} }} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }} = - \infty$ nên đồ thị có 1 TCĐ là $x=-3$.

Vậy $m = \left\{ {0; - 9} \right\}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang $y=0$ với mọi giá trị của $m$. Do đó để $\left( C \right)$ có đúng một đường tiệm cận thì:

TH1: ${x^2} - 3x + m = 0$, có 1 nghiệm kép khác 1$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{9 - 4m = 0}\\\n{f\left( 1 \right) \ne 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m = \frac{9}{4}}\\\n{m \ne 2}\n\end{array}} \right.} \right.$.

TH2: ${x^2} - 3x + m = 0$, có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{9 - 4m > 0}\\\n{f\left( 1 \right) = 0}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m < \frac{9}{4}}\\\n{m = 2}\n\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $m = \left\{ {2;\,\frac{9}{4}} \right\}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{mx + 3}}{{\sqrt {m{x^2} - 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{m + \frac{3}{x}}}{{\sqrt {m - \frac{5}{x}} }}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{mx + 3}}{{\sqrt {m{x^2} - 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{m + \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {m - \frac{5}{x}} }}$.

Để hàm số $y = \frac{{mx + 3}}{{\sqrt {m{x^2} - 5} }}$ có hai đường tiệm cận ngang thì $m>0$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0$. Nên hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang $y=0$. Vậy để hàm số luôn có một tiệm cận thì hàm số không có tiệm cận đứng.

Xét phương trình: $\left( {m{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 4mx + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm{x^2} - 2x + 1 = 0{\rm{ (1)}}\\\n4{x^2} + 4mx + 1 = 0{\rm{ (2)}}\n\end{array} \right.$

TH1: $m=0$, ta có: $\begin{array}{l}\ny = \frac{{2x - 1}}{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)}} = - \frac{1}{{4{x^2} + 1}}\\\n\n\end{array}$ ( thỏa ycbt).

TH2: $m \ne 0$

+ Cả hai phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n1 - m < 0\\\n4{m^2} - 4 < 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm > 1\\ - 1 < m < 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset $

+ Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép $x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{\Delta _1} < 0}\\\n{{\Delta _2} = 0}\\\n{f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0}\n\end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m > 1}\\\n{m = \pm 1}\\\n{m = - 1}\n\end{array}} \right.$ không thỏa.

+ Phương trình (2) vô nghiệm, phương trình (1) có nghiệm kép $x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{\Delta _1} = 0}\\\n{{\Delta _2} < 0}\\\n{f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0}\n\end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m = 1}\\\n{m \in \left( { - 2;\,2} \right)}\\\n{m = 0}\n\end{array}} \right.$ không thỏa.

Vậy để hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{\left( {m{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 4mx + 1} \right)}}$ có đúng một tiệm cận thì $m=0$.