Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $f\'\left( x \right) = \frac{1}{x}$. Khi đó độ dài đường cong $S$ là: $l = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} {\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}x{\rm{d}}x} $

Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} $ suy ra ${t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow t{\rm{d}}t = x{\rm{d}}x$

Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 ;\,x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2.$

Suy ra $l = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {1 + \frac{1}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right){\rm{d}}x} = \left. t \right|_{\sqrt 2 }^2 + \frac{1}{2}\left. {\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right|_{\sqrt 2 }^2$

$l = 2 - \sqrt 2 + \frac{1}{2}\left( {\ln \frac{1}{3} - \ln \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right) = 2 - \sqrt 2 + \frac{1}{2}\ln \frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{3} = 2 - \sqrt 2 + \ln \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$ 

Mà $l = m - \sqrt m + \ln \frac{{1 + \sqrt m }}{{\sqrt n }}$ nên suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\nm = 2\\\nn = 3\n\end{array} \right.$. Nên ${m^2} - mn + {n^2} = 7$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi Parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = 3 - x$

Phương trình tọa độ giao điểm: $2{x^2} = 3 - x \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - \frac{3}{2}\n\end{array} \right.$

Suy ra tọa độ điểm $A(1;3)$ và $(d) \cap Ox = B(3;0)$. Khi đó ${S_{(OAB)}} = {S_1} + {S_2} = \int\limits_0^1 {2{x^2}{\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {(3 - x){\rm{d}}x} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + c$, các đường thẳng $x=-1, x=2$ và trục hoành được chia làm hai phần.

Phần 1: Miền $D_{1}$ là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3$ \Rightarrow {S_1} = 3$

Phần 2: Miền $D_{2}$ gồm $\left\{ \begin{array}{l}\nf\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + c\\\ny = 1\\\nx = - 1;x = 2\n\end{array} \right.$

Dễ thấy $(C)$ đi qua 3 điểm $A\left( { - 1;1} \right),\,B\left( {0;3} \right),\,C\left( {2;1} \right)$ nên đồ thị $(C)$ có phương trình $f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 3$ $ \Rightarrow {S_2} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\frac{1}{2}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 3 - 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{27}}{8}$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = {S_1} + {S_2} = \frac{{51}}{8}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y\' = 4a{x^3} + 2bx \Rightarrow d:y = \left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right)$

Phương trình hoành độ giao điểm: $\left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( 1 \right)$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b = c\\ - 12a - 6b = 16a + 4b + c\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b - c = 0\left( 2 \right)\\\n28a + 10b + c = 0\left( 3 \right)\n\end{array} \right.$

Ta có diện tích phần tô màu là: $\frac{{28}}{5} = \int\limits_0^2 {\left[ {\left( { - 4a - 2b} \right)\left( {x + 1} \right) - a{x^4} - b{x^2} - c} \right]{\rm{d}}x} $

$ \Leftrightarrow \frac{{28}}{5} = 4\left( { - 4a - 2b} \right) - \frac{{32}}{5}a - \frac{8}{3}b - 2c \Leftrightarrow \frac{{112}}{5}a + \frac{{32}}{3}b + 2c = - \frac{{28}}{5}\left( 4 \right)$

Giải hệ (2), (3) và (4) ta được: $a = 1,\,b = - 3,\,c = 2$

Khi đó: $\left( C \right):y = {x^4} - 3{x^2} + 2,\,d:y = 2\left( {x + 1} \right)$

Diện tích cần tìm: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left[ {{x^4} - 3{x^2} + 2 - 2\left( {x + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^4} - 3{x^2} - 2x} \right)dx = \frac{1}{5}} $ 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $M = {S_1} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - x - 1 - f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - x - 1} \right){\rm{d}}x - \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } = \left. {\left( { - \frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 3}^1 = - \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

$m = {S_2} = \int\limits_1^3 {\left( {f\left( x \right) + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_1^3 = \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 6$

${S_1} - {S_2} = - \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 6 \Leftrightarrow M - m = - 6 - \left( {\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)$

$ \Leftrightarrow M - m = - 6 - \int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = m - M + 6$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử sân bóng có chiều dài $a$, chiều rộng $b$.

Chi phí trồng cỏ: $\frac{4}{3}\frac{a}{2}b.300 = \frac{2}{3}ab.300 = 40$ triệu đồng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào hình vẽ, diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là: $S = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - x + 1 - 2} \right){\rm{d}}x} $

$ = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\left( { - 1 - \frac{3}{{x + 2}}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( { - x - 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - x - 3\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 5}^{ - 3} - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 1} = 3\ln 3$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo giả thuyết ta có: $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = 9$ và $\int\limits_1^4 {\left| {f\'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = 12$.

Dựa vào đồ thị ta có: $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\'\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\'\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_{ - 2}^1 = - f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 2} \right)$

$ \Rightarrow - f\left( 1 \right) + f\left( { - 2} \right) = 9$

Tương tự ta có: $ - f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right) = 12$

Như vậy $\left[ { - f\left( 1 \right) + f\left( { - 2} \right)} \right] - \left[ { - f\left( 4 \right) + f\left( 1 \right)} \right] = - 3 \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right) - 2f\left( 1 \right) = - 3$

$ \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right) - 6 = - 3 \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right) = 3$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình tọa độ giao điểm: ${x^2} - mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = m\left( {0 < m < 4} \right)\n\end{array} \right.$

${S_1} = \int\limits_0^m {\left| {{x^2} - mx} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^m {\left( {mx - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {m\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^m = \frac{{{m^3}}}{6}$

${S_2} = \int\limits_m^4 {\left| {{x^2} - mx} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_m^4 {\left( {{x^2} - mx} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - m\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_m^4 = \frac{{64}}{3} - 8m + \frac{{{m^3}}}{6}$

Ta có: ${S_1} = {S_2} \Leftrightarrow 8m - \frac{{64}}{3} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{8}{3}$