Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\rm{d}}x} = \left. {\sqrt {1 + {x^2}} } \right|_0^1 = \sqrt 2 - 1$. Vậy $a=2, b=1$.

Vậy $a+b=2+1=3$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: $x{{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_0^a {x{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = x\\\n{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\\nv = {{\rm{e}}^x}\n\end{array} \right.$

Vậy $S = \left. {x{{\rm{e}}^x}} \right|_0^a - \int\limits_0^a {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = a{{\rm{e}}^a} - \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^a = a{{\rm{e}}^a} - {{\rm{e}}^a} + 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\int\limits_a^b {f\'\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right) = BM - PM = BP$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có: $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$ nên $V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Từ đồ thị hàm số ta có phương trình của parabol là: $y = {x^2} - 4x + 3$.

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 1}\\\n{x = 3}\n\end{array}} \right.$

Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_1^3} \right| = \frac{4}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Thể tích khối tròn xoay: $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {{{\sqrt {2 - \sin x} }^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin x} \right){\rm{d}}x} \left. { = \pi \left( {2x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left[ {\left( {\pi + \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {0 + \cos 0} \right)} \right] = \pi \left( {\pi - 1} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y\' = 2x,\,y\'\left( 2 \right) = 4$

Phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại $M\left( {2;\,0} \right)$

$y = 4\left( {x - 2} \right) = 4x - 8$

Diện tích hình phẳng: $S = \int_0^2 {\left| {{x^2} - 4 - \left( {4x - 8} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int_0^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left. {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{3}} \right|_0^2} \right| = \frac{8}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y\' = 2x - 4$

Tiếp tuyến của $(P)$ tại $A$ và $B$ lần lượt là: $y = - 2x + 4;\,y = 4x - 11$

Giao điểm của hai tiếp tuyến là $M\left( {\frac{5}{2}; - 1} \right)$

Khi đó, dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int\limits_1^{\frac{5}{2}} {\left( {{x^2} - 4x + 5 + 2x - 4} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{5}{2}}^4 {\left( {{x^2} - 4x + 5 - 4x + 11} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{4}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} + x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - \frac{4}{3}\n\end{array} \right.$

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ với trục hoành là $x=4$

Hoành độ giao điểm của parabol $y = {x^2}$ với trục hoành là: $x=0$.

Diện tích hình phẳng cần tìm:

$S = \int\limits_0^1 {{x^2}{\mathop{\rm d}\nolimits} x} + \int\limits_1^4 {\left( { - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}} \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 + \left. {\left( { - \frac{1}{6}{x^2} + \frac{4}{3}x} \right)} \right|_1^4 = \frac{{11}}{6}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có: $S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {1 + \sqrt 2 ;1} \right) \Rightarrow VTPT:\,\overrightarrow n = \left( { - 1;1 + \sqrt 2 } \right)$

Phương trình đường thẳng $d$: $y = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}$

Từ hình vẽ, diện tích cần tìm:

$S = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\left( {\sqrt {2 - {x^2}} - \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x - \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}} \right){\rm{d}}x} \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\sqrt {2 - {x^2}} {\rm{d}}x} - \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}} \right){\rm{d}}x} = A - B$

Ta có: $B = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}x + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}} \right){\rm{d}}x} = \left( {\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }}\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}x} \right)\left| \begin{array}{l}\n1\\ - \sqrt 2 \n\end{array} \right. = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}$

Xét tích phân $A = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^1 {\sqrt {2 - {x^2}} {\rm{d}}x} $

Đặt $x = \sqrt 2 \sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = \sqrt 2 \cos t{\rm{d}}t$. Đổi cận: $x = - \sqrt 2 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{2};\,x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}$

Khi đó: $A = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}{\rm{tdt}}} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{dt}}} = \left( {t + \frac{1}{2}\sin \,2t} \right)\left| \begin{array}{l}\n\frac{\pi }{4}\\ - \frac{\pi }{2}\n\end{array} \right. = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{1}{2}$

Vậy $S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\pi - 2\sqrt 2 }}{4}$ 

Lưu ý: Trong trường hợp trắc nghiệm có thể Casio để tiết kiệm thời gian.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Từ đồ thị suy ra $f\'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$

$f\left( x \right) = \int {f\'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} } $

Do $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $y=4$ tại điểm có hoành độ âm nên:

$f\'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1$

Suy ra: $f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2 \Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2$

Xét phương trình: ${x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 2\\\nx = 1\n\end{array} \right.$

Diện tích hình phẳng cần tìm: $\int_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)dx} = \frac{{27}}{4}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Từ đồ thị ta có công thức tính diện tích là: $S = \int\limits_1^{ - 2} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét phương trình: $\left| x \right| = {x^2} - 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\left| x \right| > \sqrt 2 }\\\n{{x^4} - 5{x^2} + 4 = 0}\n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = - 2}\\\n{x = 2}\n\end{array}} \right.$

Diện tích hình phẳng cần tìm: $S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {\left| x \right| - {x^2} + 2} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{20}}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị:

Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = S = \int\limits_{ - 3}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = S = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra: $V = \pi \int\limits_0^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} = \left. { - \pi \left( {\frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{2\pi }}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm:$\ln \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Diện tích hình phẳn $S = \int\limits_{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}}}^{\rm{e}} {\left| {\ln \left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}}}^1 {\ln \left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^{\rm{e}} {\ln \left( x \right){\rm{d}}x} $ 

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\nu = \ln \left( x \right)\\\n{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\\nv = x\n\end{array} \right.$

Vậy $S = \left[ {\left. {\ln \left( x \right).x} \right|_{\frac{1}{{\rm{e}}}}^1 - \int\limits_{\frac{1}{{\rm{e}}}}^1 {x.\frac{1}{x}{\rm{d}}x} } \right] + \left[ {\left. {\ln \left( x \right).x} \right|_1^{\rm{e}} - \int\limits_1^{\rm{e}} {x.\frac{1}{x}{\rm{d}}x} } \right]$

$= \left\{ {\left[ {\ln \left( 1 \right).1 - \ln \left( {\frac{1}{{\rm{e}}}} \right).\frac{1}{{\rm{e}}}} \right] - \left. x \right|_{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}}}^1} \right\} + \left\{ {\left[ {\ln \left( {\rm{e}} \right).{\rm{e}} - \ln \left( 1 \right).1} \right] - \left. x \right|_{\rm{1}}^{\rm{e}}} \right\} = \left[ {1 - \left( {1 - \frac{1}{{\rm{e}}}} \right)} \right] + \left[ {{\rm{e}} - \left( {{\rm{e}} - 1} \right)} \right] = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{e}}} + 1$

Lưu ý: Có thể Casio để ra kết quả nhanh hơn.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị:

Diện tích hình phẳng: $S = - \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^{ - 2} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} $

Ta có: $\begin{array}{l}\n\sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\\n\n\end{array}$

$\frac{\pi }{4} + k\pi \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}$.

Biến đổi:

$S = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^\pi {\left| {\sin x - \cos x} \right|{\rm{d}}x} $

$ = \left| {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin x - \cos x} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^\pi {\left( {\sin x - \cos x} \right){\rm{d}}x} } \right| = \left| {\left( { - \cos x - \sin x} \right)\left| \begin{array}{l}\n^{\frac{\pi }{4}}\\\n_0\n\end{array} \right.} \right| + \left| {\left( { - \cos x - \sin x} \right)\left| \begin{array}{l}\n^\pi \\\n_{\frac{\pi }{4}}\n\end{array} \right.} \right| = 2\sqrt 2 $