Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y=\sin 3 x . \cos x-\sin 2 x=\dfrac{1}{2}(\sin 4 x+\sin 2 x)-\sin 2 x$$=\frac{1}{2}(\sin 4 x-\sin 2 x)$

Mặt khác lại có $(\sin a x )^{(n)}=(-1)^{n-1} a^{n} \sin \left(\dfrac{n \pi}{2}-a x\right)$

Do đó $y^{(10)}(x)=\dfrac{1}{2}\left((-1)^{9} 4^{10} \cdot \sin (5 \pi-4 x)-(-1)^{9} \cdot 2^{10} \cdot \sin (5 \pi-2 x)\right)$

$\begin{array}{l}{=\dfrac{1}{2}\left(-4^{10} \cdot \sin 4 x+2^{10} \sin 2 x\right)} \\ {\Rightarrow y^{(10)}\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \approx 454490.13}\end{array}$

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{y^{\prime}(x)=-\sin x} \\ {y^{\prime \prime}(x)=-\cos x} \\ {y^{\prime \prime \prime}(x)=\sin x} \\ {y^{(4)}(x)=\cos x=y} \\ {y^{(5)}(x)=-\sin x=y^{\prime}} \\ {y^{(6)}(x)=-\cos x=y^{\prime \prime}} \\ {y^{(7)}(x)=\sin x=y^{\prime \prime \prime}}\end{array}$

.........

Ta có: $2018=504.4+2 \Rightarrow y^{(2018)}(x)=y^{\prime \prime}(x)=-\cos x$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$y=\sin 5 x . \sin 3 x=-\dfrac{1}{2}(\cos 8 x-\cos 2 x)$

$\begin{aligned} \Rightarrow y^{\prime} &=-\dfrac{1}{2}(-8 \sin 8 x+2 \sin 2 x)=4 \sin 8 x-\sin 2 x \\ y^{\prime \prime} &=32 \cos 8 x-2 \cos 2 x \\ y^{\prime \prime \prime} &=-256 \sin 8 x+4 \sin 2 x \\ y^{(4)} &=-2048 \cos 8 x+8 \cos 2 x \end{aligned}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$y^{\prime}=\dfrac{\left(2 x-x^{2}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{2 x-x^{2}}}=\dfrac{2-2 x}{2 \sqrt{2 x-x^{2}}}=\dfrac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}$

$y^{\prime \prime}=\dfrac{-\sqrt{2 x-x^{2}}-(1-x) \cdot \dfrac{1-x}{\sqrt{2 x-x^{2}}}}{2 x-x^{2}}$

$=\dfrac{-\left(2 x-x^{2}\right)-(1-x)^{2}}{\sqrt{2 x-x^{2}}\left(2 x-x^{2}\right)}=\dfrac{-2 x+x^{2}-1+2 x-x^{2}}{\sqrt{2 x-x^{2}}\left(2 x-x^{2}\right)}=\dfrac{-1}{\sqrt{\left(2 x-x^{2}\right)^{3}}}$

Thay vào $y^{3} \cdot y^{\prime \prime}+1=\left(\sqrt{2 x-x^{2}}\right)^{3} \cdot \dfrac{-1}{\sqrt{\left(2 x-x^{2}\right)^{3}}}+1=-1+1=0$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$y^{\prime}=3 x^{2}+6 x \Rightarrow y^{\prime}(1)=9$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A(1;5) $ là$y=9(x-1)+5=9 x-4 \Leftrightarrow 9 x-y-4=0(d)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3}+3 x^{2}+1=9 x-4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-5 \Rightarrow y=-49} \\ {x=1 \Rightarrow y=5}\end{array} \Rightarrow B(-5 ;-49)\right.$

$\begin{array}{l}{\Rightarrow A B=\sqrt{(-5-1)^{2}+(-49-5)^{2}}=6 \sqrt{82}} \\ {d(O ; A B)=d(O ; d)=\dfrac{|-4|}{\sqrt{9^{2}+1^{2}}}=\dfrac{4}{\sqrt{82}}} \\ {4 \Rightarrow S_{\Delta O A B}=\dfrac{1}{2} d(O ; d) \cdot A B=\dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{\sqrt{82}} \cdot 6 \sqrt{82}=12}\end{array}$

Đáp án đúng: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{-3}{(x-1)^{2}}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ là:

$\begin{aligned} y=\dfrac{-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+1+\dfrac{3}{x_{0}-1} & \Leftrightarrow \dfrac{-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} x-y +\dfrac{3 x_{0}}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}+1+\dfrac{3}{x_{0}-1} &=0 \end{aligned}$

$\Rightarrow d(A ; \Delta)=\dfrac{\left|\dfrac{-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}-1+\dfrac{3 x_{0}}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}+1+\dfrac{3}{x_{0}-1}\right|}{\sqrt{\dfrac{9}{\left(x_{0}-1\right)^{4}}+1}}$= $\dfrac{\left|\dfrac{-3+3 x_{0}+3 x_{0}-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\right|}{\sqrt{\dfrac{9}{\left(x_{0}-1\right)^{4}}+1}}$

$=\dfrac{\dfrac{\left|6 x_{0}-6\right|}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}}{\dfrac{\sqrt{\left(x_{0}-1\right)^{4}+9}}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}}=\dfrac{6\left|x_{0}-1\right|}{\sqrt{\left(x_{0}-1\right)^{4}+9}}=6 \sqrt{\dfrac{\left(x_{0}-1\right)^{2}}{\left(x_{0}-1\right)^{4}+9}}$

Đặt $t=\left(x_{0}-1\right)^{2}(t \geq 0) \Rightarrow d=6 \sqrt{\dfrac{t}{t^{2}+9}}$

Xét hàm số $f(t)=\dfrac{t}{t^{2}+9}(t>0)$

Có $f^{\prime}(t)=\dfrac{t^{2}+9-t \cdot 2 t}{\left(t^{2}+9\right)^{2}}=\dfrac{-t^{2}+9}{\left(t^{2}+9\right)^{2}}=0 \Leftrightarrow t=3$

$f(3)=\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow d=\sqrt{6} \Rightarrow d_{\max }=\sqrt{6}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $C_{2018}^{0}+C_{2018}^{1} \cdot x+C_{2018}^{2} \cdot x^{2}+\ldots+C_{2018}^{2018} \cdot x^{2018}=(1+x)^{2018}$

$\begin{array}{l}{\Rightarrow C_{2018}^{1}+2 C_{2018}^{2} \cdot x+\ldots+2018 C_{2018}^{2018} \cdot x^{2017}=2018 .(1+x)^{2017}} \\ {\Rightarrow C_{2018}^{1} \cdot x+2 . C_{2018}^{2} \cdot x^{2}+\ldots+2018 C_{2018}^{2018} \cdot x^{2018}=2018 x .(1+x)^{2017}} \\ {\Rightarrow C_{2018}^{1}+2^{2} \cdot C_{2018}^{2} \cdot x+\ldots+2018^{2} C_{2018}^{2018} \cdot x^{2018}=2018(1+x)^{2017}+2018.2017 . x(1+x)^{2016}}\end{array}$

Thay $x=2 \Rightarrow S=2018.3^{2017}+2018.2017 .2 .3^{2016}=2018.3^{2016}(2.2017+3)$ $=2018.3^{2016}(2.2018+1)$

Vậy $a=2016, b=2018 \Rightarrow a+b=4034$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$\begin{array}{l}{f^{\prime}(x)=(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots(1+2018 x)} \ {+(2018+x) .2 \cdot(2016+3 x) \ldots(1+2018 x)} \\ {+\ldots+(2018+x)(2017+2 x)(2016+3 x) \ldots .2018}\end{array}$

Suy ra 

$\begin{array}{l}{f^{\prime}(1)=2019^{2017}+2.2019^{2017}+3.2019^{2017}+\ldots+2018.2019^{2017}} \\ {=2019^{2017}(1+2+3+\ldots+2018)} \\ {=2019^{2017} \cdot \dfrac{2018.2019}{2}=1009.2019^{2018}}\end{array}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $\forall x \in \mathbb{R}$, ta có $f^{3}(2-x)-2 f^{2}(2+3 x)+x^{2} \cdot g(x)+36 x=0$

Đạo hàm hai vế của (1) ta được

$-3 f^{2}(2-x) \cdot f^{\prime}(2-x)-12 f(2+3 x) \cdot f^{\prime}(2+3 x)+2 x . g(x)+x^{2} . g^{\prime}(x)+36=0(2)$

Từ (1) và (2), thay $x=0$, ta có $\left\{\begin{array}{l}{f^{3}(2)-2 f^{2}(2)=0} \\ {-3 f^{2}(2) \cdot f^{\prime}(2)-12 f(2) \cdot f^{\prime}(2)+36=0 \text { (4) }}\end{array}\right.$

Từ (3), ta có $f(2)=0 \vee f(2)=2$

Với $f(2)=0$, thế vào (4) ta được $36=0$ (vô lí).

Với $f(2)=2$, thế vào (4) ta được $-36 . f^{\prime}(2)+36=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(2)=1$

Vậy $A=3 f(2)+4 f^{\prime}(2)=3.2+4.1=10$

Đáp án: D