Hướng dẫn giải (chi tiết)

- Trước hết ta kiểm tra phương án với p nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của $\left(a_{n}\right) $:

$\begin{array}{l}{a_{1}=1 ; a_{1}=2 ; a_{3}=2 \sqrt{3}-1 ; a_{4}=4-\sqrt{3} ; a_{5}=2 \sqrt{3}-2 ; a_{6}=2-\sqrt{3} ; a_{7}=-1} \\ {a_{8}=-2 ; a_{9}=1-2 \sqrt{3} ; a_{10}=\sqrt{3}-4}\end{array}$

Dễ dàng thấy $a_{10}=\sqrt{3}-4 \neq 1=a_{1}$ nên phương án A sai.

- Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy ta được 

$\begin{array}{l}{\left(a_{n}\right) : a_{1}=1 ; a_{1}=2 ; a_{3}=2 \sqrt{3}-1 ; a_{4}=4-\sqrt{3} ; a_{5}=2 \sqrt{3}-2 ; a_{6}=2-\sqrt{3} ; a_{7}=-1} \\ {a_{8}=-2 ; a_{9}=1-2 \sqrt{3} ; a_{10}=\sqrt{3}-4 ; a_{11}=2-2 \sqrt{3} ; a_{12}=\sqrt{3}-2 ; a_{13}=1 ; a_{14}=2}\end{array}$

Từ đây ta dự đoán được $a_{n+12}=a_{n}, \forall n \geq 1$

Bằng phương  pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được $a_{n+12}=a_{n}, \forall n \geq 1$. Vậy số nguyên dương p cần tìm là $p=12$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có

$\begin{array}{l}\nk.k! = \left( {k + 1 - 1} \right).k! = \left( {k + 1} \right).k! - k! = \left( {k + 1} \right)! - k!\\\n{S_n} = 1.1! + 2.2! + ... + n.n! = \left( {2! - 1!} \right) + \left( {3! - 2!} \right) + ... + \left( {\left( {n + 1} \right)! - n!} \right)\\ = \left( {n + 1} \right)! - 1\n\end{array}$
Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $S_{2018}=\dfrac{2018}{2}\left(2 u_{1}+2017 d\right), S_{1009}=\dfrac{1009}{2}\left(2 u_{1}+1008 d\right)$

$\begin{array}{l}{u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{2018}=4\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{1009}\right) \Leftrightarrow \dfrac{2018}{2}\left(2 u_{1}+2017 d\right)} \\ {=4 . \dfrac{1009}{2}\left(2 u_{1}+1008 d\right)} \\ {\Leftrightarrow 2 u_{1}+2017 d=2\left(2 u_{1}+1008 d\right) \Leftrightarrow u_{1}=\dfrac{d}{2}}\end{array}$

Dãy số $\left(u_{n}\right) : \dfrac{d}{2}, \dfrac{3 d}{2}, \dfrac{5 d}{2}, \ldots$

Do đó $u_{3}=\dfrac{5 d}{2}, u_{5}=\dfrac{9 d}{2}, u_{14}=\dfrac{27 d}{2}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $u_{2}=5^{3.2}, u_{3}=5^{3.2 .2}=5^{3.2^{2-1}}, u_{4}=5^{3.2^{2}-1}, \ldots$

Nên đặt $u_{n}=5^{v_{n}}$, với $v_{n}=3.2^{n-1}, n \in \mathbb{N}^{*}$.

$\begin{array}{l}{v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{k}=3 \cdot \dfrac{2^{k}-1}{2-1}=3\left(2^{k}-1\right)} \\ {u_{1} \cdot u_{2} \ldots u_{k}=5^{v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{k}}}\end{array}$

Suy ra $3\left(2^{k}-1\right)=765 \Leftrightarrow 2^{k}-1=255 \Leftrightarrow 2^{k}=256 \Leftrightarrow k=8$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $u_{n+1}=\dfrac{n+1}{5 n} u_{n} \Leftrightarrow \dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{u_{n}}{n}$

Đặt $v_{n}=\dfrac{u_{n}}{n}, \forall n \geq 1$. Suy ra $\left(v_{n}\right)$ là cấp số nhân có công bội $q=\dfrac{1}{5} \text { và } v_{1}=\dfrac{1}{5}$.

Ta có: $ S=\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{u_{k}}{k}=\sum\limits_{k=1}^{n} v_{k}=v_{1} \dfrac{1-q^{n}}{1-q}=\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5^{n}-1}{5^{n}}=T_{n}$

Do  $v_{n}>0, \forall n \geq 1$ nên $\left(T_{n}\right)$ là dãy tăng. Suy ra  $T_{n}<\dfrac{5^{2018}-1}{4.5^{2018}}=T_{2018} \Leftrightarrow n<2018$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$a_{n}=10 a_{n-1}-1 \Leftrightarrow a_{n}-\dfrac{1}{9}=10\left(a_{n-1}-\dfrac{1}{9}\right)$ (1).

Đặt $b_{n}=a_{n}-\dfrac{1}{9} \Rightarrow b_{1}=a_{1}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}$. Từ (1) $\Rightarrow b_{n}=10 b_{n-1}, \forall n \geq 2$

Dãy $\left(b_{n}\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=10$ nên $b_{n}=b_{1} \cdot q^{n-1}=\dfrac{8}{9} \cdot 10^{n-1}$.

Do đó $a_{n}=b_{n}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9} 10^{n-1}+\dfrac{1}{9}, \forall n=1,2, \ldots$

Ta có: $a_{n}>10^{100} \Leftrightarrow \dfrac{8}{9} 10^{n-1}+\dfrac{1}{9}>10^{100}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của n để $a_{n}>10^{100} \text { là } n=102$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}=n$ , suy ra $\left(v_{n}\right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $v_{1}=u_{2}-u_{1}=1$ và công sai $d=1$. 

Xét tổng $S_{217}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{217}$

Ta có: $S_{217}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{217}=\dfrac{217 .\left(v_{1}+v_{217}\right)}{2}=\dfrac{217 .(1+217)}{2}=23653$.

Mà $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ suy ra $\begin{array}{l}{S_{217}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{217}=\left(u_{2}-u_{1}\right)+\left(u_{3}-u_{2}\right)+\ldots+\left(u_{218}-u_{217}\right)=u_{218}-u_{1}} \\ {\Rightarrow u_{218}=S_{217}+u_{1}=23653}\end{array}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử tập con bất kì $\{a, b, c\} \in S \Rightarrow 1 \leq a, b, c \leq 100 ; a, b,c$ phân biệt.

$a+b+c=91$

Số bộ a, b ,c là $C_{91-1}^{3-1}$.

Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 số giống nhau, số bộ có 2 số giống nhau là $3.45=135$(bộ).

Vậy $n(\Omega)=\left(C_{90}^{2}-3.45\right) : 3 !=645$.

Gọi A là biến cố " a, b,c lập thành cấp số nhân "

Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q>0.

$a+a q+a q^{2}=91 \Leftrightarrow a\left(1+q+q^{2}\right)=1.91=13.7$

TH1: $\left\{\begin{array}{l}{a=1} \\ {1+q+q^{2}=91}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=1} \\ {q=9}\end{array}\right.\right.$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {1+q+q^{2}=1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {q=0}\end{array}\right.\right.$ loại 

TH3: $\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {1+q+q^{2}=1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=91} \\ {q=0}\end{array}\right.\right.$ thỏa mãn

TH4: $\left\{\begin{array}{l}{a=7} \\ {1+q+q^{2}=13}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=7} \\ {q=3}\end{array}\right.\right.$ thỏa mãn

Vậy $n(A)=3$

$P(A)=\dfrac{3}{645}$.

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+10}=\sqrt{2 u_{1}+6 u_{2}} \Leftrightarrow u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+10=2 u_{1}+6 u_{2}$

$\Leftrightarrow\left(u_{1}-1\right)^{2}+\left(u_{2}-3\right)^{2}=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {u_{2}=3}\end{array}\right.$

Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} \ {\rm{ với }} \ n \ge 1 \Rightarrow {v_1} = {u_2} - {u_1} = 2$

Theo giả thiết $u_{n+2}+u_{n}=2 u_{n+1}+1$

$ \Leftrightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = {v_n} + 1,\forall n \ge 1$

Suy ra $\left(v_{n}\right) \text { là cấp số cộng có công sai } d=1 \Rightarrow v_{n}=v_{1}+(n-1) d=n-3$

Ta có 

$\begin{array}{l}{u_{n+1}=\underbrace{u_{n+1}-u_{n}}_{v_{n}}+\underbrace{u_{n-1}}_{v_{n-1}}+\ldots+\underbrace{u_{3}-u_{2}}_{v_{2}}+\underbrace{u_{2}-u_{1}}_{v_{1}}+u_{1}=S_{n}+u_{1}} \\ {\text { Với } S_{n}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{n}=\frac{n}{2}\left(v_{1}+v_{n}\right)=\dfrac{n(n-1)}{2}} \\ {\text { Suy ra: } u_{n+1}=\dfrac{n(n-1)}{2}+1 \Rightarrow u_{n}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}+1}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {{u_n} > 5050 \Leftrightarrow \dfrac{{(n - 1)(n - 2)}}{2} + 1 > 5050 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10096 > 0 \Leftrightarrow n} { > 101,99} \end{array}$

Vậy số n nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 102.

Đáp án: D