Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}+C_{2 n+1}^{n+1}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1}=2^{2 n+1}$

Vì $C_{2 n+1}^{k}=C_{2 n+1}^{2 n+1-k}$ nên:

$\begin{array}{l}{C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}+C_{2 n+1}^{n}+C_{2 n+1}^{n-1}+\ldots+C_{2 n+1}^{0}=2^{2 n+1}} \\ {\Leftrightarrow 2\left(C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}\right)=2^{2 n+1}} \\ {\Leftrightarrow C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{2 n}} \\ {\Leftrightarrow C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{2 n}-C_{2 n+1}^{0}=2^{2 n}-1}\end{array}$

Do đó: $2^{2 n}-1=2^{20}-1 \Leftrightarrow n=10$

Khi đó: ${\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}} = {\left( {{x^{ - 4}} + {x^7}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^{ - 4}}} \right)^{10 - k}} \cdot {x^{7k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k - 40}}$

Hệ số chứa $x^{26}$ ứng với giá trị $k : 11 k-40=26 \Rightarrow k=6$

Vậy hệ số chứa $x^{26}$ là: $C_{10}^{6}=210$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xác suất lấy được 1 hộp bi trong 3 hộp bi là: $\dfrac{1}{3}$

Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp A là $\dfrac{C_{3}^{1}}{C_{8}^{1}}=\dfrac{3}{8}$

Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp B là $\dfrac{C_{2}^{1}}{C_{4}^{1}}=\dfrac{1}{2}$

Xác suất lấy được 1 bi đỏ trong hộp C là  $\dfrac{C_{2}^{1}}{C_{5}^{1}}=\dfrac{2}{5}$

Xác suất để lấy được 1 bi đỏ là: $\dfrac{1}{3} \cdot\left(\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{17}{40}$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có trường hợp sau

TH1: Đề thi gồm 2D, 2TB, 1K: $C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{2} \cdot C_{5}^{1}$

TH2: Đề thi gồm 2D, 1TB, 2K: $C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{2}$

TH3: Đề thi gồm 3D, 1TB, 1K: $C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{1}$

Vậy có: $C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{2} \cdot C_{5}^{1}+C_{15}^{2} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{2}+C_{15}^{3} \cdot C_{10}^{1} \cdot C_{5}^{1}=56875$ đề kiểm tra

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $P(x) = {\left( {1 + 3x + 2{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {3x + 2{x^2}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(3x)^{k - i}} \cdot {\left( {2{x^2}} \right)^i}$

$ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {.3^{k - i}}{.2^i}{x^{k + i}}$

với $0 \leq i \leq k \leq 10$

Do đó $k+i=15$ với các trường hợp

$k=10, i=5 \text { hoặc } k=9, i=6 \text { hoặc } k=8, i=7$

Vậy $a_{15}=C_{10}^{10} \cdot C_{10}^{5} \cdot 3^{5} \cdot 2^{5}+C_{10}^{9} \cdot C_{9}^{6} \cdot 3^{3} \cdot 2^{6}+C_{10}^{8} \cdot C_{8}^{7} \cdot 3.2^{7}$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x^{2}+1\right)^{n}=C_{n}^{0} x^{2 n}+C_{n}^{1} x^{2 n-2}+C_{n}^{2} x^{2 n-4}+\ldots+C_{n}^{n}} \\ {(x+2)^{n}=C_{n}^{0} x^{n}+2 C_{n}^{1} x^{n-1}+2^{2} C_{n}^{2} x^{n-2}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}}\end{array}$

Dễ dàng kiểm tra $n=1, n=2$ không thỏa mãn điều kiện bài toán

Với $n \geq 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ phân tích

$x^{3 n-3}=x^{2 n} \cdot x^{n-3}=x^{2 n-2} \cdot x^{n-1}$

Do đó hệ số $x^{3 n-3}$ trong khai triển thành đa thức của

$\left(x^{2}+1\right)^{n}(x+2)^{n}$ là: $a_{3 n-3}=2^{3} \cdot C_{n}^{0} \cdot C_{n}^{3}+2 \cdot C_{n}^{1} \cdot C_{n}^{1}$

Suy ra $a_{3 n-3}=26 n \Leftrightarrow \dfrac{2 n\left(2 n^{2}-3 n+4\right)}{3}=26 n \Leftrightarrow n=-\dfrac{7}{2}$ hoặc $n=5$

Vậy $n=5$ là giá trị cần tìm

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi X là biến cố: " lấy được cả hai viên bi mang số chẵn"

Gọi A là biến cố: " lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I"

 $\Rightarrow P(A)=\dfrac{C_{4}^{1}}{C_{9}^{1}}=\dfrac{4}{9}$

Gọi B là biến cố: "lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II" $P(B)=\dfrac{3}{10}$

Ta thấy hai biến cố A, B là 2 biến cố độc lập với nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P(X)=P(A . B)=P(A) \cdot P(B)=\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{2}{15}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta đếm các số có 7 chữ số được chọn từ các chữ số $\{2,2,3,3,3, a, b\}$ với $a, b \in\{0,1,4,5,6,7,8,9\}$, ể cả số 0 đứng đầu

Ta được $7 !$ số như vậy. Tuy nhiên khi hoán vị hai chữ số 2 cho nhau hoặc các chữ số 3 cho nhau thì ta được số không đổi do đó có tất cả

$\dfrac{7 !}{2 ! .3 !}=420$ số

Vì có $A_{8}^{2}$ cách chọn $ a, b$ nên ta có: $420 . A_{8}^{2}=23520$ số

TH chữ số 0 đứng đầu: Ta đếm các số có 6 chữ số được chọn từ các số $\{2,2,3,3,3, x\}$ với $x \in\{1,4,5,6,7,8,9\}$

Tương tự như trên ta tìm được $\dfrac{6 !}{2 ! .3 !} A_{7}^{1}=420$ số

Vậy số các số thỏa mãn: $23520-420=23100$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $C_{n}^{k}=\dfrac{n-k+1}{k} \cdot C_{n}^{k-1}$ với $\forall k \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}, n \geq k$ nên:

$\begin{array}{l}{S=\dfrac{1}{2018} C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{1}+\dfrac{2}{2017} C_{2018}^{2} . C_{2018}^{2}+\ldots} \\ {+\dfrac{2017}{2} C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2017}+\dfrac{2018}{1} C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{2018}}\end{array}$

$\begin{array}{l}{S=\frac{1}{2018} C_{2018}^{1} \cdot \frac{2018}{1} C_{2018}^{0}+\frac{2}{2017} C_{2018}^{2} \cdot \frac{2017}{2} C_{2018}^{1}} \\ {+\ldots+\frac{2017}{2} C_{2018}^{2017} \cdot \frac{2}{2017} C_{2018}^{2018}+\frac{2018}{1} C_{2018}^{2018} \cdot \frac{1}{2018} C_{2018}^{2018}}\end{array}$

$=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{0}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{1}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{2017}$

Mà $C_{2018}^{k}=C_{2018}^{2018 \cdot k}$ suy ra

$S=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{2017}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{1}$

Mặt khác ta có:

$\begin{array}{l}{(1+x)^{2018}=\sum\limits_{k=0}^{2018} C_{2018}^{k} x^{k}} \\ {\Rightarrow(1+x)^{2018} \cdot(1+x)^{2018}=\sum\limits_{k=0}^{2018} C_{2018}^{k} x^{k} \cdot \sum\limits_{l=0}^{2018} C_{2018}^{l} x^{l}} \\ {=\sum\limits_{k, l=0}^{2018} C_{2018}^{k} \cdot C_{2018}^{l} \cdot x^{k+l}(1)}\end{array}$

Suy ra hệ số của số hạng chứa $x^{2019}$ trong khai triển của (1) là

$S=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{2018}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{1}$

Lại do $(1+x)^{2018} \cdot(1+x)^{2018}=(1+x)^{4036}$

$(1+x)^{4036}=\sum\limits_{n=0}^{4036} C_{4036}^{n} x^{n}(2)$

Suy ra hệ số của số hạng chứa $x^{2019}$ trong khai triển của (2) là $C_{4036}^{2019}$

Vậy $S=C_{2018}^{1} \cdot C_{2018}^{2018}+C_{2018}^{2} \cdot C_{2018}^{2017}+\ldots+C_{2018}^{2017} \cdot C_{2018}^{2}+C_{2018}^{2018} \cdot C_{2018}^{1}=C_{4036}^{2019}$

So sánh với các đáp án bằng máy tính bỏ túi ta được $S=\dfrac{2018}{2019} C_{4036}^{2018}$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: 

$\begin{array}{l}{\dfrac{C_{n}^{k}}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !(k+1)(k+2)}} \\ {=\dfrac{(n+2) !}{(n-k) !(k+2) !(n+1)(n+2)}=\dfrac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+1)(n+2)}}\end{array}$

Suy ra: $\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{n}^{k}}{(k+1)(k+2)}=\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{n+2}^{k+2}}{(n+1)(n+2)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{C_{n}^{0}}{1.2}+\dfrac{C_{n}^{1}}{2.3}+\dfrac{C_{n}^{2}}{3.4}+\ldots+\dfrac{C_{n}^{n}}{(n+1)(n+2)}$$=\dfrac{C_{n+2}^{2}+C_{n+2}^{3}+C_{n+2}^{4}+\ldots+C_{n+2}^{n+2}}{(n+1)(n+2)}$ (*)

Ta xét khai triển sau: $(1+x)^{n+2}=C_{n+2}^{0}+x . C_{n+2}^{1}+x^{2} \cdot C_{n+2}^{2}+x^{3} \cdot C_{n+2}^{3}+\ldots+x^{n+2} \cdot C_{n+2}^{n+2}$

Chọn $x=1 \Rightarrow 2^{n+2}=C_{n+2}^{0}+C_{n+2}^{1}+C_{n+2}^{2}+C_{n+2}^{3}+\ldots+C_{n+2}^{n+2}$

Do đó: $(*) \Leftrightarrow \dfrac{2^{100}-n-3}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{2^{n+2}-C_{n+2}^{0}-C_{n+2}^{1}}{(n+1)(n+2)} \Leftrightarrow 2^{100}=2^{n+2} \Leftrightarrow n=98$

Đáp án: B