Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $V_{(O ;-2)}(d)=d^{\prime} \Rightarrow d^{\prime} / / d \text { hoặc } d^{\prime} \equiv d$

$\Rightarrow d^{\prime} \text { có dạng: } 2 x-y+c=0$

Chọn $N(1 ; 2) \in d : V_{(O ; 2)}(N)=N^{\prime}(-2 ;-4) \in d^{\prime} \Rightarrow-4+4+c=0 \Rightarrow c=0$.

=> phương trình đường thẳng $d^{\prime} : 2 x-y=0$.

Qua phép đối xứng trục $O y . D_{o y}\left(d^{\prime}\right)=d^{\prime \prime}$.

Suy ra phương trình ảnh $d^{\prime \prime}$ cần tìm là $-2 x-y=0$.

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: 

${V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = {M^\prime }\left( {{x^\prime };{y^\prime }} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {O{M^\prime }} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OM} \Rightarrow {M^\prime }(1;2)$

$Q_{\left(O ;-90^{\circ}\right)}\left(M^{\prime}\right)=M^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime} ; y^{\prime \prime}\right)$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=x^{\prime} \cos \alpha-y^{\prime} \sin \alpha} \\ {y^{\prime \prime}=x^{\prime} \sin \alpha+y^{\prime} \cos \alpha}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=y^{\prime}=2} \\ {y^{\prime \prime}=-x^{\prime}=-1}\end{array} \Rightarrow M^{\prime \prime}(2 ;-1)\right.\right.$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\begin{aligned} Q_{\left(H,-90^{\circ}\right)}(B) &=E ; V_{(H ; 2)}(E)=A \\ Q_{\left(H,-90^{\circ}\right)}(A) &=F ; V_{(H ; 2)}(F)=C \end{aligned}$

Do đó, nếu ta thực hiện liên tiếp hai phép biến hình là phép quay tâm H góc quay $-90^{0}$ và phép vị tự tâm H tỉ số k=2 ta sẽ được phép đồng dạng  biến tam giác $\Delta H B A$ thành $\Delta H A C$.

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: Phép đối xứng tâm $I$ biến hình thang $HICD$ thành hình thang $KIAB$

Phép vị tự tâm $C$ tỉ số $k= \dfrac12$ biến  hình thang $KIAB$ thành hình thang $LJIK$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phép đồng dạng tỉ số $k$ biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số $|k|$

Theo đề bài ta có phép vị tự tỉ số $k=2$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A\'B\'C\'$ nên $A\'B\'=3AB;A\'C\'=3AC$

Mặt khác ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \left( {BAC} \right) = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{2}.3AB.3AC.\sin \left( {BAC} \right) = 45$

$ \Rightarrow \dfrac{1}{2}A\'B\'.A\'C\'.\sin \left( {B\'A\'C\'} \right) = 45 \Rightarrow {S_{A\'B\'C\'}} = 45$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$ biến điểm $I(-1;2)$ thành điểm $I’(a;b)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {OI’} = 2\overrightarrow {OI} = 2\left( { - 1;2} \right) = \left( { - 2;4} \right) \Rightarrow I’\left( { - 2;4} \right)$

 $\cos \varphi = - \dfrac{3}{5}$, $\varphi$ là góc tù $\Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{4}{5}$

Phép quay $Q_{(0;\varphi )}$với $\cos \varphi = - \dfrac{3}{5}$, $\varphi$ là góc tù biến điểm $I’$ thành $I’’$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’ = \left( { - 2 - 0} \right)\cos \varphi - \left( {4 - 0} \right)\sin \varphi +0 = - 2\\ y’ = \left( { - 2 - 0} \right)\sin \varphi + \left( {4 - 0} \right)\cos \varphi +0 =- 4 \end{array} \right.$

Phép vị tự tỉ số $k=2$ biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R’$ nên $R’=2R=4$

Phép quay biến đường tròn thành đường tròn khác có cùng bán kính

Vậy đường tròn là $(x+2)^2+(y+4)^2=16$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đường tròn $(C)$ có tâm $A(3;0)$ bán kính $R=1$

Ta có phép vị tự tâm $I(3;1)$ tỉ số $k=-3$ biến điểm $A(3;0)$ thành điểm $A’(a;b)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {IA\'} = - 3\overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right) \Rightarrow A\' = \left( {3;4} \right)$

 $\cos \varphi = \dfrac{7}{{25}}$ , $\varphi$ là góc nhọn $ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{24}}{{25}}$

Ta có  phép quay $Q_{(0;\varphi)}$ với $\cos \varphi = \dfrac{7}{{25}}$ , $\varphi$ là góc nhọn biến điểm $A\'$ thành điểm $A\'\'$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = \left( {3 - 0} \right)\cos \varphi - \left( {4 - 0} \right)\sin \varphi + 0 = - 3\\\ny\' = \left( {3 - 0} \right)\sin \varphi + \left( {4 - 0} \right)\cos \varphi + 0 = 4\n\end{array} \right.$

Phép vị tự tỉ số $k=-3$ biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R’$ nên $R’=3R=3$

Phép quay biến đường tròn thành đường tròn khác có cùng bán kính 

Nên phương trình đường tròn là $(x+3)^2+(y-4)^2=9$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k=-2$ biến điểm $I(1;2)$ thành $I\'$

$\Rightarrow \overrightarrow {OI\'} = - 2\overrightarrow {OI} = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow I\' = \left( { - 2; - 4} \right)$

 Phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow v = (2;5)$ biến điểm $I\' = \left( { - 2; - 4} \right)$ thành $I\'\'$

$\Rightarrow \overrightarrow {I\'II\'} = \overrightarrow v = \left( {2;5} \right) \Rightarrow I\'\' = \left( {0;1} \right)$

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm của $(C’)$ là $OI\'\'=1$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;-4)$ bán kính $R=1$

Ta có phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-4$  biến điểm $I(-2;-4)$ thành $I\'$

$ \Rightarrow \overrightarrow {OI\'} = - 4\overrightarrow {OI} = \left( {8;16} \right) \Rightarrow I\' = \left( {8;16} \right)$

$\cos \varphi = \dfrac{3}{5}$ , $\varphi$ là góc nhọn $ \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{4}{5}$

Ta có phép quay ${Q_{\left( {0;\varphi } \right)}}$, trong đó $\cos \varphi = \dfrac{3}{5}$ , $\varphi$ là góc nhọn biến điểm $I\'(8;16)$ thành điểm $I\'\'$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx\' = \left( {8 - 0} \right)\cos \varphi - \left( {16 - 0} \right)\sin \varphi + 0 = - 8\\\ny\' = \left( {8 - 0} \right)\sin \varphi + \left( {16 - 0} \right)\cos \varphi + 0 = 16\n\end{array} \right.$

Phép vị tự tỉ số $k=-4$ biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R’$ nên $R’=4R=4$

Phép quay biến đường tròn thành đường tròn khác có cùng bán kính

Nên phương trình đường tròn là $(x+8)^2+(y-16)^2=16$

Vậy $a-2b+3c=64$

Đáp án C