Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi A là biến cố: " bốn quả cầu được chọn có số đều không vượt quá 8".

Số cách chọn 4 trong số 12 quả cầu là $n(\Omega)=C_{12}^{4}=495$.

Số cách chọn 4 trong số 8 số từ 1 đến 8 là $n(A)=C_{8}^{4}=70$

$\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{70}{495}=\dfrac{14}{99}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi A là biến cố: " số được chọn là số nguyên tố"

- Không gian mẫu: $\Omega=C_{30}^{1}=30$

- Trong dãy số tự nhiên nhỏ hơn 30 có 10 số nguyên tố.

$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=C_{10}^{1}=10} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{|\Omega|}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=6.6=36$

Gọi $A$: "tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7".

Do đó $n(A)=6$

Vậy $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là $C_{9}^{2}$

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là $C_{7}^{3}$

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là $C_{4}^{4}$

Số phần tử của tập S là $n(\Omega)=C_{9}^{2} \cdot C_{7}^{3} \cdot C_{4}^{4}=1260$

Gọi A là biến cố " Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6"

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là $C_{8}^{1} \cdot C_{7}^{3} \cdot C_{4}^{4}=280 $ cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chữ số 6

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 686 là 1 cụm thì có 7 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{6}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_{3}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $7 . C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3}=140$ số

Cách 2: Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 6886 là 1 cụm thì có 6 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{5}^{2}$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_{3}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $6 . C_{5}^{2} \cdot C_{3}^{3}=60$ số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó coi 68886 là 1 cụm thì có 5 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{4}^{1}$cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_{3}^{3}$cách sắp xếp 3 chữ số 7. 

Vậy có $5 . C_{4}^{1} \cdot C_{3}^{3}=20$ số.

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 688886 là 1 cụm thì có 4 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_{3}^{3}$ cách sắp xếp 3 chữ số 7. 

Vậy có $4 C_{3}^{3}=4$ số

Vậy biến cố $A$ có $280+140+60+20+4=504$ phần tử 

Xác suất cần tìm là $P(A)=\dfrac{504}{1260}=\dfrac{2}{5}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm: 

$X_{1} :\{1 ; 4 ; 7 ; \ldots ; 19\}$: chia cho 3 dư 1 ( có 7 phần tử)

$X_{2} :\{2 ; 5 ; 8 ; \ldots ; 20\}$: chia cho 3 dư 1 ( có 7 phần tử)

$X_{3} :\{3 ; 6 ; 9 ; \ldots ; 18\}$: chia hết cho 3 ( có 6 phần tử)

Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau: 

+ Cả 3 viên thuộc $X_{1}$, có: $C_{7}^{3}$ cách

+ Cả 3 viên thuộc $X_{2}$, có: $C_{7}^{3}$ cách

+ Cả 3 viên thuộc $X_{3}$, có $C_{6}^{3}$ cách

+ 1 viên thuộc $X_{1}$, 1 viên thuộc $X_{2}$, 1 viên thuộc $X_{3}$, có : 7.7.6 cách

$\Rightarrow$ Số cách thỏa mãn là: $C_{7}^{3}+C_{7}^{3}+C_{6}^{3}+7.7 .6=384$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=6 !$

Gọi biến cố $A$: " Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ"

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách. 

Chọn chỗ cho học sinh năm thứ 2 có 4 cách ( không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh năm thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai)

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ: 3! cách. 

$\begin{array}{l}{\Rightarrow n_{A}=6.4 \cdot 2.3 !=288 \text { cách. }} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{288}{6 !}=\dfrac{2}{5}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=2^{3}=8$

Gọi $A$ là biến cố: " Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp"

Khi đó $A=\{S S N, S N S, N S S\} \text { nên } P(A)=\dfrac{3}{8}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $A$ là biến cố: " có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh"

- Không gian mẫu: $|\Omega|=C_{12}^{1} \cdot C_{12}^{1}=144$

- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là: $C_{5}^{1} \cdot C_{4}^{1}$

- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là: $C_{8}^{1} \cdot C_{7}^{1}$

$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=C_{5}^{1} \cdot C_{4}^{1}+C_{8}^{1} \cdot C_{7}^{1}=76} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{|\Omega|}=\dfrac{76}{144}=\dfrac{19}{36}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=2^{3}=8$

Ba đồng xu ra cùng một mặt thì chỉ có thể là $S S S, N N N$ nên: $P(A)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $A$ là biến cố: " trong số 7 viên bi được lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ"

- Số cách chọn 7 trong 20 viên bi là $C_{55}^{7}$.

- $\overline{A}$ là biến cố: " trong số 7 viên bi được lấy ra không có viên bi màu đỏ nào"

$\begin{array}{l}{=>n(\overline{A})=C_{20}^{7}} \\ {\Rightarrow n(A)=\Omega-n(\overline{A})=C_{55}^{7}-C_{20}^{7}} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{C_{55}^{7}-C_{20}^{7}}{C_{55}^{7}}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi A là biến cố: " 2 người được chọn có đúng một người nữ".

Số cách chọn 2 trong 10 người là $n(\Omega)=C_{10}^{2}=45$

Số cách chọn trong đó có 1 nữ và 1 nam là $n(A)=C_{3}^{1} \cdot C_{7}^{1}=21$

$\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{21}{45}=\dfrac{7}{15}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=6^{2}$.

Gọi $A$ là biến cố: " Tổng hai mặt chia hết cho 3", các trường hợp có thể xảy ra của $A$ là: 

$A=\{(1 ; 5),(5 ; 1),(1 ; 2),(2 ; 1),(2 ; 3),(3 ; 3),(6 ; 3),(4 ; 5),(5 ; 4)\}$

Do đó $n\left(\Omega_{A}\right)=12$

Vậy $P(A)=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=6^{6} $.

TH1: Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần $\Rightarrow$ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.

TH2: Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow$ có 1 khả năng xảy ra.

TH3: Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần $\Rightarrow$ có 5.6 = 30 khả năng xảy ra.

TH4: Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow$ có 1 khả năng xảy ra.

Vậy có $30+1+30+1=62$ khả năng xảy ra biến cố $A$

Vậy $P(A)=\dfrac{62}{6^{6}}=\dfrac{31}{23328}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=6^{3}$

Gọi $A$ là biến cố:  " Số chấm trên ba con xúc sắc bằng nhau"

Khi đó các trường hợp có thể có của $A$ là: 

$(1 ; 1 ; 1),(2 ; 2 ; 2),(3 ; 3 ; 3),(4 ; 4 ; 4),(5 ; 5 ; 5),(6 ; 6 ; 6)$

Vậy $P(A)=\dfrac{6}{216}=\dfrac{1}{36}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=6^{5}$

Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là: 

$\begin{array}{l}{(1 ; 1 ; 2),(1 ; 2 ; 3),(1 ; 3 ; 4),(1 ; 4 ; 5)} \\ {(1 ; 5 ; 6),(2 ; 1 ; 3),(2 ; 2 ; 4),(2 ; 3 ; 5)} \\ {(2 ; 4 ; 6),(3 ; 1 ; 4),(3 ; 2 ; 5),(3 ; 3 ; 6)} \\ {(4 ; 1 ; 5),(4 ; 2 ; 6),(5 ; 1 ; 6)}\end{array}$

Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có 6 khả năng xảy ra nên $n(A)=15.6 .6$

Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{15.6 .6}{6^{5}}=\dfrac{15}{216}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

- Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)=C_{12}^{3}=220$.

- Giả sử chọn 3 người có số thứ trong hàng lần lượt là m,n,p.

Theo giả thiết ta có: $\left\{\begin{array}{l}{ m < n < p} \\ {n-m>1} \\ {p-n>1} \\ {m, n, p \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{a=m} \\ {b=n-1} \\ {c=p-2}\end{array}\right.$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{ a < b < c} \\ {b-a \geq 1} \\ {c-b \geq 1} \\ {1 \leq a < b < c=p-2 \leq 10}\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow a, b, c$ là ba số bất kì trong tập $\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 10\} \Rightarrow$ có $C_{10}^{3}$ hay $n(A)=C_{10}^{3}=120$.

Vậy xác suất là $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{120}{220}=\dfrac{6}{11}$.

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét các trường hợp sau:

TH1: Giữa hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có $2!. 8!$ cách.

TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{1} .7 !$ cách.

TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{2} .6 !$ cách.

TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{3} .5 !$ cách.

TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có $2!. A_{4}^{4} .4 !$ cách.

Vậy theo quy tắc cộng có $2 !\left(8 !+A_{4}^{1} 7 !+A_{4}^{2} 6 !+A_{4}^{3} 5 !+A_{4}^{4} 4 !\right)=145152$ cách.

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số cách chọn ra 4 sinh viên tham gia clb Văn và clb Toán không xét tới thứ tự

=>$\Omega (A) = C_{20}^4.C_{20}^4$

Gọi A là biến cố một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ

Khi một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất 1 câu lạc bộ thì sau khi chọn bất kì 4 sinh viên câu lạc bộ văn hoặc toán trong 20 sinh viên , ta lại chọn bất kì 4 sinh viên trong 16 sinh viên .

Khi đó ${n_A} = 2.C_{20}^4.C_{16}^4$

Khi đó xác suất của biến cố A là $P\left( A \right) = \dfrac{{2.C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \dfrac{{728}}{{969}}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Khi chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ , ta được không gian mẫu là $\Omega = C_{30}^{10}$

Gọi A là biến cố có đúng 5 số chia hết cho 3 trong 10 tấm thẻ.

Từ 1 đến 30 có 10 số chia hết cho 3 , chọn 5 số trong 10 số này , và chọn ngẫu nhiên 5 số còn lại trong 20 số 

=> ${n_A} = C_{10}^5C_{20}^5$

Vậy xác suất của biến cố là $P(A) = \dfrac{{C_{10}^5C_{20}^5}}{{C_{30}^{10}}} = \dfrac{{62016}}{{476905}}$.