Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $y^{\prime}=15 x^{4}-20 x^{3}+3 \Rightarrow y^{\prime \prime}=60 x^{3}-60 x^{2}$

Bất phương trình $y^{\prime \prime}<0 \Leftrightarrow 60 x^{3}-60 x^{2}<0 \Leftrightarrow x^{2}(x-1)<0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x<1} \\ {x \neq 0}\end{array}\right.$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $y^{\prime}=\dfrac{1}{(x-1)^{2}} \Rightarrow y^{\prime \prime}=\dfrac{-2(x-1)}{(x-1)^{4}}=\dfrac{-2}{(x-1)^{3}}$

Bất phương trình $y^{\prime \prime}>0 \Leftrightarrow \dfrac{-2}{(x-1)^{3}}>0 \Leftrightarrow(x-1)^{3}<0 \Leftrightarrow x<1$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

 $y’ = \left( {\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } } \right)’ = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } }}\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) \\= \dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } }}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}$

$y’’ = \dfrac{{\left( {\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } } \right)’.2\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2\sqrt {1 + {x^2}} } \right)’.\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } }}{{{{\left( {2\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \left( {2\sqrt {1 + {x^2}} - 4x} \right)}}{{8\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Khi đó:

 $4({x^2} + 1).y’’ + 4x.y’ \\= 4\left( {{x^2} + 1} \right)\dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \left( {2\sqrt {1 + {x^2}} - 4x} \right)}}{{8\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }} + 4x\dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } }}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}$

$ = \dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \left( {2\sqrt {1 + {x^2}} - 4x} \right)}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2x\dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } }}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \\= \sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } - 2x\dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } }}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 2x\dfrac{{\sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } }}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \\= \sqrt {x + \sqrt {1 + {x^2}} } $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y’ = k{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^{k - 1}}.\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)$

              $ = k{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^{k - 1}}.\left( {\dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) \\= k.\dfrac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

$y’’ = k.\dfrac{{\left[ {{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}} \right]’\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)’.{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}}}{{{x^2} + 1}}$

     $=k.\dfrac{{\dfrac{{k{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\sqrt {x + \sqrt {{x^2} + 1} } - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}}}{{{x^2} + 1}} \\= \dfrac{{k{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}\left( {k\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}$

Khi đó, biểu thức cần tính là: 

$\left( {1 + {x^2}} \right).y’’ + xy’ - {k^2}y \\= \left( {1 + {x^2}} \right)\dfrac{{k{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}.\left( {k\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} + \dfrac{{x.k{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

$ = \dfrac{{k{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^k}.\left( {k\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \dfrac{{x.k{{\left( {{x^2} + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^k}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} - {k^2}{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^k}$

$= \frac{{\left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {{k^2}\sqrt {{x^2} + 1} - kx + kx - {k^2}\sqrt {{x^2} + 1} } \right) \\ = 0$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y\' = 3\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{2}} \right),y\'\' = {3^2}\sin \left( {3x + 2\dfrac{\pi }{2}} \right),y\'\'\' = {3^3}\sin \left( {3x + 3\dfrac{\pi }{2}} \right)$

Dự đoán: ${y^{(n)}} = {3^n}\sin \left( {3x + n\dfrac{\pi }{2}} \right)$ (1)

Ta sẽ chứng minh dự đoán trên đúng bằng phương pháp quy nạp toán học

.Với $n = 1 = > y\' = {3^1}\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{2}} \right)$  đúng 

Giả sử (1) đúng với $n=k(k \in N^*)$, tức là ${y^{(k)}} = {3^k}\sin \left( {3x + k\dfrac{\pi }{2}} \right)$

Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1$ , khi đó : 

${y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)\' = {3^{k + 1}}\cos \left( {3x + k\dfrac{\pi }{2}} \right) = {3^{k + 1}}\sin \left( {3x + \left( {k + 1} \right)\dfrac{\pi }{2}} \right)$  đúng 

Vậy: ${y^{(n)}} = {3^n}\sin \left( {3x + n\dfrac{\pi }{2}} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $y\' = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}},y\'\' = \dfrac{{{a^2}.2}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}},y\'\'\' = \dfrac{{ - {a^3}.2.3}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}$

Dự đoán  ${y^{(n)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}$ (1)

Ta cần chứng minh dự doán đúng bằng phương pháp quy nạp toán học

 Với $n = 1 = > y\' = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}.{a^1}.1!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}$

Giả sử (1) đúng với $n=k ( k \in N^*)$ , tức là:  ${y^{(k)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.{a^k}.k!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{k + 1}}}}$

Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1$ , khi đó : 

${y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)\' = - \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.{a^k}.k!\left[ {{{\left( {ax + b} \right)}^{k + 1}}} \right]\'}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{2k + 2}}}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.{a^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{k + 2}}}}$ đúng 

Vậy : ${y^{(n)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$ bằng đạo hàm  của phương trình chuyển động tại thời điểm $t$.

$v = s\' = 3{t^2} - 8t - 5$

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$ bằng đạo hàm cấp hai  của phương trình chuyển động tại thời điểm $t$.

$a = s\'\' = v\' = 6t - 8$

Khi đó tại $t = 6 = > a = 28m/{s^2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta phân tích : $y = \dfrac{5}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{x - 1}}$

Đạo hàm cấp 1,2, 3 : 

$y\' = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{3}{{{{(x - 1)}^2}}},y\'\' = \dfrac{{5.2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} - \dfrac{{3.2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}},y\'\'\' = \dfrac{{ - 5.3.2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} + \dfrac{{3.3.2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}$

Dự đoán ${y^{(n)}} = \dfrac{{5.{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^{n + 1}}}} - \dfrac{{3.{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{n + 1}}}}$ (1)

Ta sẽ  chứng minh dự đoán đúng bằng phương pháp quy nạp toán học

 Với $n = 1 = > y\' = \dfrac{{5.{{( - 1)}^1}.1!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{{3{{( - 1)}^1}.1!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Giả sử (1) đúng với  $n = k(k \in {N^*})$ , tức là : 

${y^{(k)}} = \dfrac{{5.{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^{k + 1}}}} - \dfrac{{3.{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{k + 1}}}}$

Ta cần chứng minh (1) đúng $n=k+1$ , tức là chứng minh : 

${y^{(k + 1)}} = \left[ {\dfrac{{5.{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^{k + 1}}}} - \dfrac{{3.{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{k + 1}}}}} \right]\' = \dfrac{{5.{{( - 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^{k + 2}}}} - \dfrac{{3.{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{k + 2}}}}$ ( đpcm)

Vậy: ${y^{(n)}} = \dfrac{{5.{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^{n + 1}}}} - \dfrac{{3.{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{n + 1}}}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta biến đổi y rồi đạo hàm cấp 1, 2 ,3 : 

$y = {\left( {ax + b} \right)^{\dfrac{1}{k}}},y\' = \dfrac{1}{k}.a.{\left( {ax + b} \right)^{\dfrac{1}{k} - 1}},y\'\' = \dfrac{1}{k}(\dfrac{1}{k} - 1).{a^2}{\left( {ax + b} \right)^{\left( {\dfrac{1}{k} - 2} \right)}},y\'\'\' = \dfrac{1}{k}\left( {\dfrac{1}{k} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{k} - 2} \right).{a^3}.{\left( {ax + b} \right)^{\left( {\dfrac{1}{k} - 3} \right)}}$

Dự đoán: ${y^{(n)}} = \dfrac{1}{k}\left( {\dfrac{1}{k} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{k} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\dfrac{1}{k} - n}}$ (1)

Ta sẽ chứng minh dự đoán đúng bằng phương pháp quy nạp toán học

 Với $n = 1 = > y\' = \dfrac{1}{k}.{a^1}.{\left( {ax + b} \right)^{\dfrac{1}{k} - 1}}$

Giả sử (1) đúng với  $n = p(p \in {N^*})$ , tức là : 

${y^{(p)}} = \dfrac{1}{k}\left( {\dfrac{1}{k} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{k} - p + 1} \right).{a^p}.{\left( {ax + b} \right)^{\dfrac{1}{k} - p}}$

Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=p+1$ , tức là chứng minh: 

${y^{(p + 1)}} = \left( {{y^{(p)}}} \right)\' = \left( {\dfrac{1}{k}\left( {\dfrac{1}{k} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{k} - p + 1} \right).{a^p}.{{\left( {ax + b} \right)}^{\dfrac{1}{k} - p}}} \right)\' = \dfrac{1}{k}\left( {\dfrac{1}{k} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{k} - p + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{k} - p} \right).{a^{p + 1}}.{\left( {ax + b} \right)^{\dfrac{1}{k} - p - 1}}$ ( đpcm)

Vậy: ${y^{(n)}} = \dfrac{1}{k}\left( {\dfrac{1}{k} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{k} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\dfrac{1}{k} - n}}$