Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $M(x;y)$ thỏa mãn $x-2 y+2=0 \Rightarrow M$ thuộc đường thẳng $x-2 y+2=0(d)$

Gọi $A(3 ; 5) ; B(5 ; 7) \Rightarrow T=M A+M B$

Ta cần tìm điểm $M \in d$ sao cho $M A+M B$ nhỏ nhất

Dễ thấy $A, B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$

Gọi $A\'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ ta có: $M A=M A^{\prime}$

$\Rightarrow M A+M B=M A^{\prime}+M B \geq A^{\prime} B$

$\Rightarrow M A+M B$ Nhỏ nhất $\Leftrightarrow M, A^{\prime}, B$ thẳng hàng hay $M=A^{\prime} B \cap d$

Đường thẳng $AA\'$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ nên có phương trình $2 x+y-11=0\left(d^{\prime}\right)$

Gọi $H=d \cap d^{\prime} \Rightarrow$ tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ: 

$\left\{\begin{array}{l}{x-2 y+2=0} \\ {2 x+y-11=0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=4} \\ {y=3}\end{array} \Rightarrow H(4 ; 3)\right.\right.$l à trung điểm của $A A^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{A^{\prime}}=2 x_{H}-x_{A}=5} \\ {y_{A^{\prime}}=2 y_{H}-y_{H}=1}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(5 ; 1)\right.$

Phương trình đường thẳng $A\'B$ là: $ x=5$

$\Rightarrow M A+M B$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M=A^{\prime} B \cap d \Rightarrow$ tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}{x-2 y+2=0} \\ {x=5}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=5} \\ {y=\dfrac{7}{2}}\end{array} \Rightarrow M\left(5 ; \dfrac{7}{2}\right) \Rightarrow T_{\min }=6\right.\right.$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta dễ dàng kiểm tra được $A,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$

Gọi $A\'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$, ta có: $M A=M A^{\prime}$ 

$\Rightarrow M A+M B=M A^{\prime}+M B \geq A^{\prime} B$

$\Rightarrow M A+M B$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M, A^{\prime}, B$ thẳng hàng hay $M=A^{\prime} B \cap d$

Đường thẳng $AA\'$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ nên có phương trình $x+y-4=0 \quad\left(d^{\prime}\right)$

Gọi $H=d \cap d^{\prime} \Rightarrow$ tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ

$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0} \\ {x+y-4=0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{3}{2}} \\ {y=\dfrac{5}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)\right.\right.$ là trung điểm của $A A^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{A^{\prime}}=2 x_{H}-x_{A}=0} \\ {y_{A^{\prime}}=2 y_{H}-y_{H}=4}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(0 ; 4)\right.$

Phương trình đường thẳng $A\'B$ là: 

$\displaystyle\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-4}{5-4} \Leftrightarrow \frac{x}{7}=y-4 \Leftrightarrow x-7 y+28=0$

$\Rightarrow M A+M B$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M=A^{\prime} B \cap d \Rightarrow$ Tọa độ điểm  là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0} \\ {x-7 y+28=0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r}{x=\dfrac{7}{2}} \\ {y=\dfrac{9}{2}}\end{array} \Rightarrow M\left(\dfrac{7}{2} ; \dfrac{9}{2}\right)\right.\right.$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm $H$ qua một cạnh của nó nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh 

Kẻ các đường cao $A M, B N, C P$ và gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.

Ta có tứ giác $ANHP$ là một tứ giác nội tiếp suy ra:

 $\widehat{P A N}+\widehat{P H N}=180^{\circ}$ hay $\widehat{B A C}+\widehat{B H C}=180^{\circ}$

Mặt khắc, có $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$ nên $\widehat{B D C}=\widehat{B H C}$

Do đó $\widehat{B A C}+\widehat{B D C}=180^{\circ}$

Suy ra $D$ nằm trên đường tròn $(O)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Vì $H’$ đối xứng với $H$ qua $BC$ suy ra $\widehat{B H C}=\widehat{B H^{\prime} C}$

Mặt khác $\widehat{B H C}=\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\widehat{B H^{\prime} C}=\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}$ (1)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{B B^{\prime} \perp A C} \\ {C C^{\prime} \perp A B}\end{array} \Rightarrow \widehat{A C^{\prime} H}=\widehat{A B^{\prime} H}=90^{0}\right.$

Tứ giác $A B^{\prime} H C^{\prime}$ là tứ giác nội tiếp 

Suy ra $\widehat{B^{\prime} A C^{\prime}}+\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}=180^{0}$ (2) 

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B H^{\prime} C}+\widehat{B A C}=180^{0}$

Vậy tứ giác$A B H^{\prime} C$ là tứ giác nội tiếp.

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là điểm đối xứng với $A$ qua trục $Ox$ và đường thẳng $y=x$ ta có: $A B=B B^{\prime}, A C=C C^{\prime}$

$C=A B+B C+C A=B^{\prime} B+B C+C C^{\prime} \geq B^{\prime} C^{\prime}$

$ \Rightarrow C_{\min }=B^{\prime} C^{\prime} \Leftrightarrow B=O x \cap B^{\prime} C^{\prime}, C=(y=x) \cap B^{\prime} C^{\prime}$

Dễ thấy $B^{\prime}(2 ;-1)$

$AC’$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $y=x$ nên có phương trình $x+y-3=0$

Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $y=x$ và $x+y-3=0 \Rightarrow H\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{3}{2}\right)$ là trung điểm của $A C^{\prime} \Rightarrow C^{\prime}(1 ; 2)$

Chi vi tam giác $ABC$ là:

$\begin{array}{l}{C=A B+B C+C A=B^{\prime} B+B C+C C^{\prime} \geq B^{\prime} C^{\prime}} \\ {\Rightarrow C_{\min }=B^{\prime} C^{\prime} \Leftrightarrow B=O x \cap B^{\prime} C^{\prime}, C=(y=x) \cap B^{\prime} C^{\prime}}\end{array}$

Phương trình $B’C’$

$\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{x-2}{1-2}=\frac{y+1}{2+1} \Leftrightarrow-x+2=\frac{y+1}{3} \Leftrightarrow-3 x+6=y+1 \Leftrightarrow 3 x+y-5=0} \\ {\Rightarrow B\left(\dfrac{5}{3} ; 0\right), C\left(\dfrac{5}{4} ; \dfrac{5}{4}\right)}\end{array}$  

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $d_{1}$là đường thẳng của hàm số $(C) : y=|x|$

$d_{1} \cap(x=1)=A(1 ; 1)$

Lấy $B(2 ; 2) \in d_{1} \Rightarrow$ đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $x=1$ có phương trình $y=2$.

Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $x=1$ và $y=2\Rightarrow H(1 ; 2)$.

Gọi $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $x=1\Rightarrow H$ là trung điểm của $B B^{\prime} \Rightarrow B^{\prime}(0 ; 2)$

Suy ra phương trình đường thẳng $AB’$ là: $\dfrac{x-1}{0-1}=\dfrac{y-1}{2-1} \Leftrightarrow-x+1=y-1 \Leftrightarrow x+y=2$

$\Rightarrow x+y=2$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $y=x$ qua đường thẳng $x=1$.

$d_{2} \cap(x=1)=C(1 ;-1)$

Lấy $D(0 ; 0) \in d_{2} \Rightarrow$ đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với đường thẳng $x=1$ có phương trình $y=0$.

Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $x=1$ và $y=0\Rightarrow K(1 ; 0)$

Gọi $D’$ là điểm đối xứng với $D$ qua đường thẳng $x=1$ suy ra $K$l là trung điểm của $DD’\Rightarrow D^{\prime}(2 ; 0)$

phương trình đường thẳng $C D^{\prime}$ là: $\dfrac{x-1}{2-1}=\dfrac{y+1}{0+1} \Leftrightarrow x-1=y+1 \Leftrightarrow x-y=2$

$\Rightarrow x-y=2$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $y=-x$ qua đường thẳng $x=1$.

$\Rightarrow\left(C^{\prime}\right) :\left[\begin{array}{l}{x+y=2} \\ {x-y=2}\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{y=-x+2} \\ {y=x-2}\end{array} \Leftrightarrow y=|x-2|\right.\right.$

Đáp án: D 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Lấy $A\'$ đối xứng với $A$ qua $Cx$ ta có:

 $\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{M A=M A^{\prime}} \\ {C A=C A^{\prime}}\end{array} \Rightarrow M A+M B=M A^{\prime}+M B\right.} \ {>A^{\prime} B=C A^{\prime}+C B=C A+C B}\end{array}$ 

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Để biến đường thẳng $c$ thành chính nó thì trục đối xứng có dạng trùng với $c$ hoặc vuông góc với $c$.

TH1: Trục đối xứng trùng với $c$ suy ra trục đối xứng vuông góc với $a$ và $b$ .

Suy ra trục đối xứng biến $a$ và $b$ thành chính nó. Do đó trường hợp này không thỏa mãn.

TH2: Trục đối xứng vuông góc với $c$, tức là trục đối xứng song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$. Khi đó, đề trục đối xứng biến  $a$ thành $b$ thì trục đối xứng phải cách đều $a$ và $b$.

Do đó trường họp này có 1 trục đối xứng thỏa mãn,

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $d$ là đường trung trực của cạnh đoạn thẳng $AC$.

Lấy $D\'$ đối xứng với $D$ uqa đường thẳng $d \Rightarrow A D=C D^{\prime} ; A D^{\prime}=C D$

$\Rightarrow S=S_{A B C D^{\prime}}=S_{A B D^{\prime}}+S_{B C D^{\prime}}$

Ta có

$\begin{array}{l}{S_{A B D^{\prime}}=\displaystyle\frac{1}{2} A B \cdot A D^{\prime} \cdot \sin \widehat{B A D^{\prime}} \leq \frac{1}{2} A B \cdot A D^{\prime}=\frac{1}{2} A B \cdot C D} \\ {S_{B C D^{\prime}}=\displaystyle\frac{1}{2} B C \cdot C D^{\prime} \cdot \sin \widehat{B C D^{\prime}} \leq \frac{1}{2} B C \cdot C D^{\prime}=\frac{1}{2} B C \cdot A D} \\ {\Rightarrow S \leq \dfrac{1}{2}(A B . C D+B C . A D)}\end{array}$

Đáp án: B