Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $n \in \mathbb{N} , n \geq 3$

Ta có 

$\begin{aligned} C_{n}^{3}=5 C_{n}^{1} & \Leftrightarrow \dfrac{n !}{3 !(n-3) !}=5 \dfrac{n !}{(n-1) !} \\ & \Leftrightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6}=5 n \Leftrightarrow n^{2}-3 n-28=0 \\ & \Leftrightarrow n=7(\text { t/m }) \vee n=-4(\text { L }) \end{aligned}$

Với $n=7$ ta có $\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}+2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{7}=\sum\limits_{k=0}^{7} C_{7}^{k}\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}\right)^{7-k}\left(2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{7}$

Vậy số hạng thứ tư trong khai triển trên là $C_{7}^{3}\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}\right)^{4}\left(2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{3}=35.2^{2 x-2} \cdot 2^{-x}$

Kết hợp với giả thiết ta được $35.2^{2 x-2} \cdot 2^{-x}=140 \Leftrightarrow 2^{x-2}=4 \Leftrightarrow x = 4$

Vậy tổng giá trị của n và x là 11

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {( - 1)^k}{\left( {{x^2}} \right)^{n - k}} \cdot {\left( {\dfrac{2}{x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_6^k} {( - 1)^k} \cdot {2^k}{x^{2n - 3k}}$

Tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển bằng 49 nên $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{0}-2 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{1}+2^{2} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{2}=49(*)$

Điều kiện $\mathbb{n} \in \mathbb{N}^{*}, \mathbb{n} \geq 2$

Khi đó $\left(^{*}\right) \Leftrightarrow 1-2 n+2^{2} \cdot \dfrac{n(n-1)}{2}=49 \Leftrightarrow 2 n^{2}-4 n-48=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=-4(L)} \\ {n=6(N)}\end{array}\right.$

Với $n=6$ ta có nhị thức $\left(x^{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{6}$

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{6}^{k}(-1)^{k} \cdot 2^{k} x^{12-3 k}(k \in \mathbb{N}, 0 \leq k \leq 6)$

Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=3$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển là $C_{6}^{3}(-1)^{3} \cdot 2^{3}=-160$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Từ giả thiết ta có $\dfrac{1}{2019 !}\left(C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+C_{2019}^{6}+\ldots+C_{20 i 9}^{2016}+C_{2019}^{2019}\right)=\dfrac{2^{2018}-1}{n !}\left(^{*}\right)$

Ta lại có 

$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{2^{2019}} = {\rm{C}}_{2019}^0 + {\rm{C}}_{2019}^1 + {\rm{C}}_{2019}^2 + \ldots + {\rm{C}}_{2019}^{2019} + {\rm{C}}_{2019}^{2019}}\\ {{0^{2019}} = {\rm{C}}_{2019}^0 - {\rm{C}}_{2019}^1 + {\rm{C}}_{2019}^2 - \ldots + {\rm{C}}_{2019}^{2018} - {\rm{C}}_{2019}^{2019}} \end{array} \Rightarrow 2{\rm{C}}_{2019}^0 + 2{\rm{C}}_{2019}^2 + \ldots + 2{\rm{C}}_{2019}^{2018} = {2^{2019}}} \right.\\ \Rightarrow C_{2019}^2 + C_{2019}^4 + \ldots + C_{2019}^{2018} = \dfrac{{{2^{2019}} - 2}}{2} = {2^{2018}} - 1\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{2018}} - 1}}{{2019!}} = \dfrac{{{2^{2018}} - 1}}{{n!}} \Rightarrow n = 2019 \Rightarrow {(x - \sqrt x )^n} = {(x - \sqrt x )^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k} {x^{2019 - k}}{( - \sqrt x )^k} \end{array}$

Số hạng tổng quát của khai triển là ${\left( { - 1} \right)^k}C_{2019}^k{x^{2019 - k}}.{x^{\dfrac{k}{2}}}$

$\Rightarrow x^{2018}=x^{2019-k} \cdot x^{\dfrac{k}{2}} \Leftrightarrow 2018=2019-k+\dfrac{k}{2} \Leftrightarrow k=2$

Vậy $a_{2018}=(-1)^{2} C_{2019}^{2}=C_{2019}^{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $5^{n} C_{n}^{0}-5^{n-1} C_{n}^{1}+5^{n-2} C_{n}^{2}-\ldots+(-1)^{n} C_{n}^{n}=1024 \Leftrightarrow(5-1)^{n}=1024$

$\Leftrightarrow 2^{2 n}=2^{10} \Leftrightarrow n=5$

Với $n=5$ ta có ${{{(3 - x)}^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {3^{5 - k}} \cdot {{( - x)}^k} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {3^{5 - k}} \cdot {{( - 1)}^k}{x^k}}$

Vậy hệ số của $x^5$ là $C_{s}^{3} \cdot 3^{2} \cdot(-1)^{3}=-90$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $n \geq 2$

Từ giả thiết ta có

$\begin{array}{l}{6 . C_{n+1}^{n-1}=A_{n}^{2}+160 \Leftrightarrow 6 \cdot \dfrac{(n+1) !}{(n-1) ! .2 !}=\dfrac{n !}{(n-2) !}+160} \\ {\Leftrightarrow 3 n(n+1)=n(n-1)+160} \\ {\Leftrightarrow 2 n^{2}+4 n-160=0 \Leftrightarrow n=8}\end{array}$

Khi đó ta được khai triển $\left(1-2 x^{3}\right)(2+x)^{8}=(2+x)^{8}-2 x^{3}(2+x)^{8}$

Theo khai triển nhị thức Newton ta có $(2+x)^{8}=\sum_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{k}$

Số hạng chứa $x^7$ ứng với $k=7$

Hệ số của $x^7$ trong khai triển $(2+x)^8$ là $2.C_8^7$

$x^{3}(2+x)^{8}=x^{3} \cdot \sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{k}=\sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{k+3}$

Số hạng chứa $x^7$ ứng với $k=4$

Hệ số của $x^7$ trong khai triển $x^{3}(2+x)^{8}$ là $2^{4} \cdot C_{8}^{4}$Vậy hệ số cần tìm là $2 \cdot C_{8}^{7}-2 \cdot 2^{4} \cdot C_{8}^{4}=-2224$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Sử dụng công thức $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ ta có

$\begin{array}{l}{C_{n+1}^{8}=C_{n}^{8}+C_{n}^{7}} \\ {C_{n}^{8}=C_{n-1}^{7}+C_{n-1}^{8}} \\ {C_{n-1}^{8}=C_{n-2}^{7}+C_{n-2}^{8}} \\ {\cdots} \\ {C_{9}^{8}=C_{8}^{8}+C_{8}^{7}} \\ {C_{8}^{8}=C_{8}^{8}}\end{array}$

Cộng vế với vế rồi rút gọn ta được $C_8^8 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8$ mà $C_8^8 = C_7^7 = 1$ nên

$C_{7}^{7}+C_{8}^{7}+\ldots+C_{n}^{7}=C_{n+1}^{8}$

Từ đó ta có $720\left(C_{7}^{7}+C_{8}^{7}+\ldots . C_{n}^{7}\right)=\dfrac{1}{4032} A_{n+1}^{10}$

$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 720 . C_{n+1}^{8}=\dfrac{1}{4032} A_{n+1}^{10} \Rightarrow 720 \cdot \dfrac{(n+1) !}{8 !(n-7) !}=\dfrac{1}{4032} \dfrac{(n+1) !}{(n-9) !}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{56} \dfrac{(n+1) !}{(n-9) !(n-8)(n-7)}=\dfrac{1}{4032} \cdot \dfrac{(n+1) !}{(n-9) !}(n>9)} \\ {\Leftrightarrow(n-7)(n-8)=72 \Leftrightarrow n^{2}-15 n+56=72} \\ {\Leftrightarrow n^{2}-15 n-16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=-1(k t m)} \\ {n=16(t m)}\end{array}\right.}\end{array}$

Với $n=16$ ta có

${\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} \cdot {x^{16 - k}}{\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} \cdot {x^{16 - k}}{x^{ - 2k}}{( - 1)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} \cdot {x^{16 - 3k}}{( - 1)^k}$

Số hạng chứa $x^7$ ứng với k=3

Nên số hạng cần tìm là -560

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $(x+1)^{n}(1+x)^{n}=(x+1)^{2 n}$

Vế trái của hệ thức trên chính là $\left(C_{n}^{0} x^{n}+C_{n}^{1} x^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n}\right)\left(C_{n}^{0}+C_{n}^{1} x+\ldots+C_{n}^{n} x^{n}\right)$

Và ta thấy hệ số của $x^n$ trong vế trái là $\left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\ldots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}$

Do đó $\left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\ldots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}=C_{2 n}^{n}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\left(2 x+\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot(2 x)^{n-k} \cdot\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{k}$

Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k=2 nên số hạng thứ ba của khai triển là$C_{n}^{2} \cdot 2^{n-2} \cdot x^{n-6}$

Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa $x$ nên $n=6$

Số hạng thứ hai của khai triển $\left(1+x^{3}\right)^{30}$ là $C_{30}^{1} \cdot x^{3}=30 x^{3}$

Khi đó ta có $C_{6}^{2} \cdot 2^{4}=30 x^{3} \Leftrightarrow x=2$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\dfrac{x^{k}}{k !} \cdot \dfrac{(1-x)^{10-k}}{(10-k) !}=\dfrac{1}{10 !} \cdot \dfrac{10 !}{k !(10-k) !} x^{k} \cdot(1-x)^{10-k}=\dfrac{1}{10 !} \cdot C_{10}^{k} x^{k} \cdot(1-x)^{10-k}$ với $0 \leq k \leq 10$

Suy ra 

$\begin{array}{l}{\dfrac{x^{10}}{10 !}+\dfrac{x^{9}}{9 !} \cdot \dfrac{(1-x)}{1 !}+\dfrac{x^{8}}{8 !} \cdot \dfrac{(1-x)^{2}}{2 !}+\ldots+\dfrac{(1-x)^{10}}{10 !}=\dfrac{1}{10 !} \sum\limits_{k=0}^{10} x^{k} \cdot(1-x)^{10-k}} \\ {=\dfrac{1}{10 !}(x+1-x)^{10}=\dfrac{1}{10 !}}\end{array}$