Hướng dẫn giải (chi tiết)

$u_{2}+u_{23}=60 \Leftrightarrow\left(u_{1}+d\right)+\left(u_{1}+22 d\right)=60 \Leftrightarrow 2 u_{1}+23 d=60$

Khi đó $S_{24}=\dfrac{24}{2}\left(u_{1}+u_{24}\right)=12\left(u_{1}+\left(u_{1}+23 d\right)\right)=12\left(2 u_{1}+23 d\right)=12.60=720$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $x_{3}+x_{13}=80 \Leftrightarrow x_{1}+2 d+x_{1}+12 d=80 \Leftrightarrow 2 x_{1}+14 d=80$

$S_{15}=\dfrac{15\left(2 x_{1}+14 d\right)}{2}=\dfrac{15.80}{2}=600$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$\left\{\begin{array}{l}{d=-2} \\ {72=S_{8}=8 u_{1}+\dfrac{8.7}{2} d}\end{array} \Rightarrow 72=8 u_{1}+28 .(-2) \Leftrightarrow u_{1}=16\right.$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1, d=4} \\ {561=S_{n}=n u_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2} d}\end{array} \Rightarrow 561=n+\dfrac{n^{2}-n}{2} \cdot 4 \Leftrightarrow 2 n^{2}-n-561=0 \Leftrightarrow n=17\right.} \\ {u_{n}=u_{17}=u_{1}+16 d=1+16.4=65}\end{array}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=\left(u_{1}+2\right)^{2}+\left(u_{1}+4\right)^{2}+\left(u_{1}+6\right)^{2}=3 u_{1}^{2}+24 u_{1}+56} \\ {=3\left(u_{1}^{2}+8 u_{1}\right)+56=3\left(u_{1}+4\right)^{2}+8 \geq 8}\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $u_{1}+4=0 \Rightarrow u_{1}=-4$

Số hạng tổng quát $u_{n}=u_{1}+(n-1) d=-4+(n-1) \cdot 2=2 n-6$

Nếu $u_{n}=2018 \Rightarrow 2 n-6=2018 \Leftrightarrow n=1012$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=3} \\ {u_{8}=24=u_{1}+7 d}\end{array} \Rightarrow 24=3+7 d \Rightarrow d=3 \Rightarrow\right.$  Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có $n+2$ số hạng với $u_{1}=-3, u_{n+2}=23$

Khi đó $u_{n+2}=u_{1}+(n+1) d \Leftrightarrow n+1=\dfrac{u_{n+2}-u_{1}}{d}=\dfrac{23-(-3)}{2}=13 \Leftrightarrow n=12$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u_{2}-u_{1}=d} \\ {u_{3}-u_{2}=d}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{1}{u_{2}}-\dfrac{1}{u_{1}}=-\dfrac{d}{u_{1} u_{2}}} \\ {\dfrac{1}{u_{3}}-\dfrac{1}{u_{2}}=-\dfrac{d}{u_{2} u_{3}}}\end{array}\right.\right.$
Theo yêu cầu bài toán ta có $\dfrac{1}{u_{2}}-\dfrac{1}{u_{1}}=\dfrac{1}{u_{3}}-\dfrac{1}{u_{2}}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có
$\left\{\begin{array}{l}{u_{7}-u_{3}=8} \\ {u_{2} u_{7}=75}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left(u_{1}+6 d\right)-\left(u_{1}+2 d\right)=8} \\ {\left(u_{1}+d\right)\left(u_{1}+6 d\right)=75}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{d=2} \\ {\left(u_{1}+2\right)\left(u_{1}+12\right)=75}\end{array}\right.\right.\right.$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\left\{\begin{array}{l}{u_{3}+u_{5}=5} \\ {u_{3} \cdot u_{5}=6}\end{array} \Rightarrow u_{3}, u_{5}\right.$  là nghiệm của phương trình

$X^{2}-5 X+6=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{X=3} \\ {X=2}\end{array} \Rightarrow\right.$ $\left[\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{u_{3}=3} \\ {u_{5}=2} \\ {u_{3}=2} \\ {u_{5}=3}\end{array}\right.}\end{array}\right.$

TH1: $\left\{\begin{array}{l}{u_{3}=3} \\ {u_{5}=2}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+2 d=3} \\ {u_{1}+4 d=2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=4} \\ {d=-\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.\right.\right.$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}{u_{3}=2} \\ {u_{5}=3}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+2 d=2} \\ {u_{1}+4 d=3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {d=\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy $ \left[\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {u_{1}=4}\end{array}\right.$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Kí hiệu $h_{n}$ là độ cao bậc thứ n so với mặt sân. Khi đó ta có $ h_{n+1}=h_{n}+0,18(m)$, trong đó $h_{1}=0,5 m$.

Dãy số $\left(h_{n}\right)$ là cấp số cộng có $h_{1}=0,5$ và công sai $d=0,18$. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $h_{n}=h_{1}+(n-1) d=0,5+(n-1) 0,18=0,18 n+0,32$ (mét)

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó : ${u_{2013}} + {u_6} = 2019 \Leftrightarrow {u_1} + 2012d + {u_1} + 5d = 2019 \Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 2019$

Ta có ${S_{2018}} = 2018{u_1} + \dfrac{{2017.2018d}}{2} = 1009\left( {2{u_1} + 2017d} \right) = 1009.2019$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${u_2} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 6 \Rightarrow {u_1} = 6 - d (*)$

${u_6} = {u_1} + \left( {6 - 1} \right)d= {u_1} + 5d$

Mặt khác $u_{1} + {u_6}= 9 \Leftrightarrow {u_1} +({u_1}+5d )= 9 \Leftrightarrow 2{u_1} + 5d= 9$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( * \right)} 2(6 - d) + 5d = 9 \Leftrightarrow 3d + 3 = 0 \Leftrightarrow d = - 1$

$ \Rightarrow {u_1} = 7$$ \Rightarrow {S_{89}} = 89{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2} = - 3382$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = 4{n^2} + 3n \Leftrightarrow {u_1} + {u_n} = 8n + 6$

$ \Rightarrow {u_n} = - {u_1} + 8n + 6$

Mặt khác ${u_1} = {S_1} = 7 \Rightarrow {u_{10}} = - 7 + 8.10 + 6 = 79$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t=x^2(t \ge 0)$

Phương trình đã cho trở thành $t^2+2(2a+1)t-3a=0(*)$

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\Delta \' > 0\\ - 2\left( {2a + 1} \right) > 0\\ - 3a > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} + 7a + 1 > 0\\\n2a + 1 < 0\\\na < 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < a < \dfrac{{ - 7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\\na < - \dfrac{1}{2}\\\na < 0\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < a < - \dfrac{1}{2}\n\end{array}$

Phương trình $(*)$ có 2 nghiệm dương $t_1,t_2(t_1 < t_2)$ nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là $ - \sqrt {{t_2}} ; - \sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_2}} $

Bốn nghiệm của phương trình lập thành cấp số cộng $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} \\ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \n\end{array} \right. \Rightarrow {t_2} = 9{t_1}$

Theo vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n{t_1} + {t_2} = - 2\left( {2a + 1} \right)\\\n{t_1}.{t_2} = - 3a\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{t_1} = \dfrac{{ - 2a - 1}}{5}\\\n{t_1}^2 = - 3a\n\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 2a - 1}}{5}} \right)^2} = - 3a \Leftrightarrow 12{a^2} + 37a + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\na = - \dfrac{1}{{12}}\left( L \right)\\\na = - 3\n\end{array} \right.$

Vậy có duy nhất giá trị của tham số $a$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có dãy số $\dfrac{1}{{b + c}},\dfrac{1}{{a + c}},\dfrac{1}{{b + a}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{b + a}} = \dfrac{2}{{a + c}} \Leftrightarrow \dfrac{{2b + a + c}}{{{b^2} + bc + ab + ac}} = \dfrac{2}{{a + c}}\\ \Leftrightarrow 2b\left( {a + c} \right) + {\left( {a + c} \right)^2} = 2{b^2} + 2bc + 2ab + 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}\n\end{array}$

Vậy $a^2,b^2,c^2$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\dfrac{{{S_n}}}{{{S_m}}} = {\left( {\dfrac{n}{m}} \right)^2}$

$\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 4 \Leftrightarrow {u_2} + {u_1} = 4{u_1} \Leftrightarrow d = 2{u_1}$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $a + b + c = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow a + c = \dfrac{\pi }{2} - b \Rightarrow \tan \left( {a + c} \right) = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - b} \right) = \cot b$

 $\cot a,\cot b,\cot c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng 

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cot a + \cot c = 2\cot b \Leftrightarrow \cot a + \cot c = 2\tan \left( {a + c} \right)\\ \Leftrightarrow \cot a + \cot c = 2\dfrac{{\tan a + \tan c}}{{1 - \tan a.\tan c}} \Leftrightarrow \cot a + \cot c = 2.\dfrac{{\dfrac{1}{{\cot a}} + \dfrac{1}{{\cot c}}}}{{1 - \dfrac{1}{{\cot a}}.\dfrac{1}{{\cot c}}}}\\ \Leftrightarrow 1 = \dfrac{2}{{\cot a.\cot c - 1}} \Leftrightarrow S = 3\n\end{array}$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử tam giác $ABC$ có ba góc $A,B,C$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $\Rightarrow \widehat A + \widehat C = 2\widehat B$

Mặt khác $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$ \Rightarrow 3\widehat B = {180^o} \Leftrightarrow \widehat B = {60^o}$

Đáp án D