Bài tập nâng cao bài Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Home Lớp 11 Toán lớp 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàmBài tập nâng cao

Chọn đáp án đúng

Hàm số $y=\tan ^{2} \dfrac{x}{2}$ có đạo hàm là:

$y^{\prime}=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{2 \cos ^{3} \dfrac{x}{2}}$

$y^{\prime}=\tan ^{3} \dfrac{x}{2}$

$y^{\prime}=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos ^{3} \dfrac{x}{2}}$

$y^{\prime}=\dfrac{2 \sin \dfrac{x}{2}}{\cos ^{3} \dfrac{x}{2}}$

(Xem gợi ý)

- Hạ bậc đưa về bậc nhất sau đó đạo hàm

- Áp dụng công thức $\left({\dfrac{u}{v}}\right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\displaystyle \tan ^{2} \dfrac{x}{2}=\dfrac{\sin ^{2} \dfrac{x}{2}}{\cos ^{2} \dfrac{x}{2}}=\dfrac{\dfrac{1-\cos x}{2}}{\dfrac{1+\cos x}{2}}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$

$\begin{array}{l}{\Rightarrow y^{\prime}=\dfrac{(1-\cos x)^{\prime}(1+\cos x)-(1-\cos x)(1+\cos x)^{\prime}}{(1+\cos x)^{2}}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{\sin x(1+\cos x)-(1-\cos x)(-\sin x)}{(1+\cos x)^{2}}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{\sin x+\sin x \cos x+\sin x-\sin x \cos x}{(1+\cos x)^{2}}}\end{array}$

$\begin{array}{l}{y^{\prime}=\dfrac{2 \sin x}{(1+\cos x)^{2}}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{4 \sin \frac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}{\left(2 \cos ^{2} \frac{x}{2}\right)^{2}}=\frac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos ^{3} \dfrac{x}{2}}}\end{array}$

Đáp án: C

Đạo hàm của hàm số $y=\tan ^{2} x-\cot ^{2} x$ là:

$y^{\prime}=2 \dfrac{\tan x}{\cos ^{2} x}+2 \dfrac{\cot x}{\sin ^{2} x}$

$y^{\prime}=2 \dfrac{\tan x}{\cos ^{2} x}-2 \dfrac{\cot x}{\sin ^{2} x}$

$y^{\prime}=2 \dfrac{\tan x}{\sin ^{2} x}+2 \dfrac{\cot x}{\cos ^{2} x}$

$y^{\prime}=2 \tan x-2 \cot x$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\tan x} \right)\' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}};\left( {\cot x} \right)\' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{y=\tan ^{2} x-\cot ^{2} x=(\tan x-\cot x)(\tan x+\cot x)} \\ {y^{\prime}=(\tan x-\cot x)^{\prime}(\tan x+\cot x)+(\tan x-\cot x)(\tan x+\cot x)^{\prime}}\end{array}$

$\displaystyle y^{\prime}=\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}+\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)(\tan x+\cot x)+(\tan x-\cot x)\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)$

$\displaystyle y^{\prime}=\frac{\tan x}{\cos ^{2} x}+\frac{\cot x}{\cos ^{2} x}+\frac{\tan x}{\sin ^{2} x}+\frac{\cot x}{\sin ^{2} x}+\frac{\tan x}{\cos ^{2} x}-\frac{\tan x}{\sin ^{2} x}-\frac{\cot x}{\cos ^{2} x}+\frac{\cot x}{\sin ^{2} x}$

$y^{\prime}=2 \dfrac{\tan x}{\cos ^{2} x}+2 \dfrac{\cot x}{\sin ^{2} x}$

Đáp án: A

Tinh đạo hàm của hàm số sau: $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}{x^{2}-3 x+1} & {k h i \quad x>1} \\ {2 x+2} & {\text {khi} \quad x \leq 1}\end{array}\right.$ ta được:

$f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}{2 x-3 \text { khi } \quad x>1} \\ {2 \qquad k h i \quad x \leq 1}\end{array}\right.$

$f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}{2 x-3 \text { khi }\quad x>1} \\ {2 \qquad k h i \quad x<1}\end{array}\right.$

C. Không tồn tại đạo hàm

$f^{\prime}(x)=2 x-3$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $x>1$ ta có: $f(x)=x^{2}-3 x+1 \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 x-3$

Với $x<1$ ta có: $f(x)=2 x+2 \Leftrightarrow f^{\prime}(x)=2$

Với $x=1$ ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) =-1 \neq f(1)=4 \Rightarrow$ Hàm số không liên tục tại $x=1$ , do đó không có đạo hàm tại $x=1$ .

Vậy $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}{2 x-3 \text { khi } x>1} \\ {2 \qquad k h i x<1}\end{array}\right.$

Đáp án: B

Bài tập

Câu hỏi số 1/10

17:03

Điểm: 0

trên tổng số 100

Góp ý - Báo lỗi

Bật/Tắt âm thanh báo đúng/sai

Thưởng độ khó: + hạt dẻ

Thưởng điểm cao: + hạt dẻ

Thưởng điểm 100: + hạt dẻ

Thành tích cũ: +

Số hạt dẻ đạt được:

Điểm thành tích:

Danh mục bài học

Chúc mừng bạn đã đạt được huy hiệu:

Đạt 10 điểm thành tích

Điểm của bạn.Mỗi câu trả lời đúng được 33 điểm

Trả lời đúng hết 3 câu bạn sẽ được thưởng 1 điểm

Câu hỏi này theo dạng chọn đáp án đúng, sau khi đọc xong câu hỏi, bạn bấm vào một trong số các đáp án mà chương trình đưa ra bên dưới, sau đó bấm vào nút gửi để kiểm tra đáp án và sẵn sàng chuyển sang câu hỏi kế tiếp

Trả lời đúng trong khoảng thời gian quy định bạn sẽ được + số điểm như sau:
Trong khoảng 5 phút đầu tiên	+ 5 điểm
Trong khoảng 5 phút -> 10 phút	+ 4 điểm
Trong khoảng 10 phút -> 15 phút	+ 3 điểm
Trong khoảng 15 phút -> 20 phút	+ 2 điểm
Trên 20 phút	+ 1 điểm

Tổng thời gian làm mỗi câu (không giới hạn)

Điểm của bạn.

Bấm vào đây nếu phát hiện có lỗi hoặc muốn gửi góp ý

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Em chưa làm xong câu này