Bài tập nâng cao bài Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Home Lớp 11 Toán lớp 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bảnBài tập nâng cao

Chọn đáp án đúng

Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình $\sin \left[\frac{\pi}{4}\left(3 x-\sqrt{9 x^{2}-16 x-80}\right)\right]=0$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $9 x^{2}-16 x-80 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4$

Phương trình $\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}\left(3 x-\sqrt{9 x^{2}-16 x-80}\right)=k \pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow 3 x-\sqrt{9 x^{2}-16 x-80}=4 k \Leftrightarrow \sqrt{9 x^{2}-16 x-80}=3 x-4 k$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \geq \frac{4 k}{3}} \\ {9 x^{2}-16 x-80=(3 x-4 k)^{2}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \geq \frac{4 k}{3}} \\ {x=\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}}\end{array}\right.\right.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq \frac{4 k}{3}} \\ {x=\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq 4} \\ {\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \in \mathbb{Z}}\end{array}\right.$

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq \frac{4 k}{3}} \\ { x=\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq 4}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\frac{-6 k^{2}+8 k+30}{3 k-2} \geq 0} \\ {\frac{2 k^{2}-12 k+18}{3 k-2} \geq 0}\end{array} \Leftrightarrow \frac{2}{3}< k \leq 3\right.\right.$

Vì $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k=1,2,3$

$\begin{array}{l}{* k=1 \Rightarrow \frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}=12 \in \mathbb{Z}} \\ {* k=2 \Rightarrow \frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}=\frac{9}{2} \notin \mathbb{Z}} \\ {* k=3 \Rightarrow \frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}=4 \in \mathbb{Z}}\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có $x=4, x=12$ là nghiệm của phương trình

Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình $\cos \pi\left(3-\sqrt{3+2 x-x^{2}}\right)=-1$

(Xem gợi ý)

Sử dụng của phương trình $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $3+2 x-x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow-1 \leq x \leq 3$

Phương trình $\Leftrightarrow \pi\left(3-\sqrt{3+2 x-x^{2}}\right)=\pi+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2-2 k=\sqrt{3+2 x-x^{2}}$

Ta có : $0 \leq \sqrt{4-(1-x)^{2}} \leq 2$ và $2-2 k$ là số chẵn nên các nghiệm nguyên dương là 1;3

Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên dương

Cho phương trình $\cos x \cdot \cos 7 x=\cos 3 x \cos 5 x (1)$

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình $(1)$

$\sin 5 x=0$

$\cos 4 x=0$

$\sin 4 x=0$

$\cos 3 x=0$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức biến tích thành tổng

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có

$\begin{array}{l}{\cos x \cdot \cos 7 x=\cos 3 x \cos 5 x \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos 6 x+\cos 8 x)=\frac{1}{2}(\cos 2 x+\cos 8 x)} \\ {\Leftrightarrow \cos 6 x-\cos 2 x=0 \Leftrightarrow-2 \sin 4 x \cdot \sin 2 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin 4 x=0} \\ {\sin 2 x=0}\end{array}\right.}\end{array}$

$\Leftrightarrow \sin 4 x=0$ (Do $\sin 4 x=2 \sin 2 x \cos 2 x$ )

Tìm số nghiệm $x \in[0 ; 14]$ nghiệm đúng phương trình $\cos 3 x-4 \cos 2 x+3 \cos x-4=0$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức nhân đôi và nhân ba

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có

Phương trình $\Leftrightarrow 4 \cos ^{3} x-3 \cos x-4\left(2 \cos ^{2} x-1\right)+3 \cos x-4=0$

$\Leftrightarrow 4 \cos ^{3} x-8 \cos ^{2} x=0 \Leftrightarrow \cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi$

Vì $x \in[0 ; 14] \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3 \pi}{2}, x=\frac{5 \pi}{2}, x=\frac{7 \pi}{2}$

Giải phương trình $4\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)+2\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)=8-4 \cos ^{2} 2 x$

$x=\pm \frac{\pi}{3}+\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$x=\pm \frac{\pi}{24}+\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức hạ bậc

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$4\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)+2\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)=8-4 \cos ^{2} 2 x$

$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 4\left(1-3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right)+2\left(1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right)=8-4 \cos ^{2} 2 x} \\ {\Leftrightarrow 6-4 \sin ^{2} 2 x=8-4 \cos ^{2} 2 x} \\ {\Leftrightarrow \cos 4 x=\frac{1}{2}}\end{array}$

$\Leftrightarrow 4 x=\pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$

Giải phương trình $\sin x \cdot \cos x(1+\tan x)(1+\cot x)=1$

Vô nghiệm

$x=\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$x=k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}$

$x=k \pi, k \in \mathbb{Z}$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức nhân đôi

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{\sin x \neq 0} \\ {\cos x \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{\pi}{2}\right.$

Phương trình $\Leftrightarrow \sin x \cdot \cos x\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\right)=1$

$\Leftrightarrow(\sin x+\cos x)^{2}=1 \Leftrightarrow \sin 2 x=0$

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình vô nghiệm

Phương trình $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\tan \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=3 \sqrt{3}$ tương đương với phương trình nào sau đây?

$\cot x=\sqrt{3}$

$\cot 3 x=\sqrt{3}$

$\tan x=\sqrt{3}$

$\tan 3 x=\sqrt{3}$

(Xem gợi ý)

sử dụng công thức nhân ba $\tan 3 a=\frac{3 \tan a-\tan ^{3} a}{1-3 \tan ^{2} a}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có :

Phương trình $\tan x+\frac{\tan x+\tan \frac{\pi}{3}}{1-\tan x \tan \frac{\pi}{3}}+\frac{\tan x+\tan \frac{2 \pi}{3}}{1-\tan x \tan \frac{2 \pi}{3}}=3 \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x+\frac{\tan x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} \tan x}+\frac{\tan x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3} \tan x}=3 \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{\tan x\left(1-3 \tan ^{2} x\right)+(\tan x+\sqrt{3})(1+\sqrt{3} \tan x)+(\tan x-\sqrt{3})(1-\sqrt{3} \tan x)}{1-3 \tan ^{2} x}=3 \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{\tan x-3 \tan ^{3} x+\tan x+\sqrt{3} \tan ^{2} x+\sqrt{3}+3 \tan x+\tan x-\sqrt{3} \tan ^{2} x-\sqrt{3}+3 \tan x}{1-3 \tan ^{2} x}=3 \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{9 \tan x-3 \tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}=3 \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}=\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan 3 x=\sqrt{3}$

Phương trình $\sin ^{6} x+\cos ^{6} x=\frac{7}{16}$ có nghiệm là

$x=\pm \frac{\pi}{3}+k \frac{\pi}{2}$

$x=\pm \frac{\pi}{5}+k \frac{\pi}{2}$

$x=\pm \frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2}$

$x=\pm \frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{2}$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức hạ bậc

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\begin{array}{l}{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x=\frac{7}{16} \Leftrightarrow 1-\frac{3}{4} \sin ^{2} 2 x=\frac{7}{16}} \\ {\Leftrightarrow \sin ^{2} 2 x=\frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos 4 x=\frac{-1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}}\end{array}$

Số nghiệm thuộc khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ của phương trình $\sin ^{3} x \cdot \cos 3 x+\cos ^{3} x \cdot \sin 3 x=\frac{3}{8}$ là

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức nhân ba

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có

Phương trình $\Leftrightarrow \sin ^{3} x \cdot \cos 3 x+\cos ^{3} x \cdot \sin 3 x=\frac{3}{8}$

$\Leftrightarrow \sin ^{3} x\left(4 \cos ^{3} x-3 \cos x\right)+\cos ^{3} x\left(3 \sin x-4 \sin ^{3} x\right)=\frac{3}{8}$

$\Leftrightarrow 8 \sin x \cos x\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)=1 \Leftrightarrow 4 \sin 2 x \cdot \cos 2 x=1 \Leftrightarrow \sin 4 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{24}+\frac{k \pi}{2}} \\ {x=\frac{5 \pi}{24}+\frac{k \pi}{2}}\end{array}\right.$

Do $x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ nên nghiệm thuộc khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ của phương trình là $\frac{\pi}{24}, \frac{5 \pi}{24}$

Phương trình $2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x}$ có nghiệm là

$\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{6}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{6}+k \pi}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{12}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{18}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{18}+k \pi}\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{24}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{24}+k}\end{array}\right.$

(Xem gợi ý)

Sử dụng công thức nhân ba

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \geq 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}{2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x} \Leftrightarrow 4 \sin ^{2}\left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x} \\ {\Leftrightarrow 2\left[1-\cos \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right)\right]=1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \Leftrightarrow 8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x-2 \sin 6 x-1=0} \\ {\Leftrightarrow 8 \sin 2 x\left(1-\sin ^{2} 2 x\right)-2\left(3 \sin 2 x-4 \sin ^{3} 2 x\right)-1=0 \Leftrightarrow 2 \sin 2 x-1=0}\end{array}$

$\Leftrightarrow \sin 2 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{12}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi}\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.$

Thử lại điều kiện $\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{12}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi}\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.$ đều thỏa mãn

Bài tập

Câu hỏi số 1/10

17:03

Điểm: 0

trên tổng số 100

Góp ý - Báo lỗi

Điểm của bạn.Mỗi câu trả lời đúng được

Câu hỏi này theo dạng chọn đáp án đúng, sau khi đọc xong câu hỏi, bạn bấm vào một trong số các đáp án mà chương trình đưa ra bên dưới, sau đó bấm vào nút gửi để kiểm tra đáp án và sẵn sàng chuyển sang câu hỏi kế tiếp

Trả lời đúng trong khoảng thời gian quy định bạn sẽ được + số điểm như sau:
Trong khoảng 5 phút đầu tiên	+ 5 điểm
Trong khoảng 5 phút -> 10 phút	+ 4 điểm
Trong khoảng 10 phút -> 15 phút	+ 3 điểm
Trong khoảng 15 phút -> 20 phút	+ 2 điểm
Trên 20 phút	+ 1 điểm

Tổng thời gian làm mỗi câu (không giới hạn)

Điểm của bạn.

Bấm vào đây nếu phát hiện có lỗi hoặc muốn gửi góp ý

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Em chưa làm xong câu này