Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách.

TH1: Môn Toán hết sách:

Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.

Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.

Vậy có 6 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_{5}^{5}=120$ cách.

Vậy có $6.120=720$ cách.

TH2: Môn Lí hết sách:

Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.

Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là $C_{7}^{2}$ cách.

Vậy có 21 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_{5}^{5}=120$ cách.

Vậy có $21.120=2520$ cách.

TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách.

Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là $C_{10}^{5} \cdot A_{5}^{5}=30240$ cách.

Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là 30240−720−2520−2520=24480 cách.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\mathrm{kC}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}} \cdot 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}=\mathrm{k} \dfrac{\mathrm{n} !}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-\mathrm{k}) !} 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}=\mathrm{n} \mathrm{C}_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{k}-1} 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}$

Suy ra $\sum\limits_{{\bf{k}} = 1}^{\rm{n}} {\rm{k}} {\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{k}}{3^{{\rm{n}} - {\rm{k}}}} = {\rm{n}}\sum\limits_{{\rm{k}} = 1}^{\rm{n}} {{\rm{C}}_{{\rm{n}} - 1}^{{\rm{k}} - 1}} {3^{{\rm{n}} - {\rm{k}}}} = {\rm{n}}\sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^{{\rm{n}} - 1} {{\rm{C}}_{{\rm{n}} - 1}^{\rm{k}}} {3^{{\rm{n}} - 1 - {\rm{k}}}} = {\rm{n}}{.4^{{\rm{n}} - 1}}$

Suy ra $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{1} 3^{\mathrm{n}-1}+2 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{2} 3^{\mathrm{n}-2}+3 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{3} 3^{\mathrm{n}-3}+. .+\mathrm{n} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}=256 \Leftrightarrow \mathrm{n} .4^{\mathrm{n}-1}=4.4^{3}$

Vậy n=4

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $n \in \mathbb{N} ; n \geq 4$

$\begin{array}{l}{\dfrac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{n-4}}=\dfrac{24}{23} \Leftrightarrow \dfrac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{4}}=\dfrac{24}{23}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{n !}{(n-4) !}}{\dfrac{(n-1) !}{(n-2) !}-\dfrac{n !}{(n-4) ! 4 !}}=\dfrac{24}{23}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{n !}{(n-4) !}}{\dfrac{n !(n+1)}{(n-4) !(n-3)(n-2)}-\dfrac{n !}{(n-4) ! 4 !}}=\dfrac{24}{23}}\end{array}$

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{n !}{(n-4) !}}{\dfrac{n !}{(n-4) !}\left(\dfrac{n+1}{(n-3)(n-2)}-\dfrac{1}{24}\right)}=\frac{24}{23} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{n+1}{(n-3)(n-2)}-\dfrac{1}{24}}=\dfrac{24}{23} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{24(n-3)(n-2)}{24 n+24-(n-3)(n-2)}=\frac{24}{23} \end{aligned}$

$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 23\left(n^{2}-5 n+6\right)=24 n+24-\left(n^{2}-5 n+6\right)} \\ {\Leftrightarrow 24 n^{2}-144 n+120=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}{n=5} & {(t m)} \\ {n=1} & {(k t m)}\end{array}\right.}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chứng minh công thức $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

$\begin{array}{l}{V T=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}+\dfrac{n !}{(k+1) !(n-k-1) !}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !}\left(\dfrac{1}{n-k}+\dfrac{1}{k+1}\right)} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !} \cdot \dfrac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)}} \\ {=\dfrac{n !(n+1)}{k !(k+1)(n-k-1) !(n-k)}} \\ {=\dfrac{(n+1) !}{(k+1) !(n-k) !}=C_{n+1}^{k+1}=V P}\end{array}$

Biểu thức

 $\begin{aligned} B &=C_{n}^{k}+4 C_{n}^{k-1}+6 C_{n}^{k-2}+4 C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4} \\ &=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}+3\left(C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k-2}\right)+3\left(C_{n}^{k-2}+C_{n}^{k-3}\right)+C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4} \\ &=C_{n+1}^{k}+3 C_{n+1}^{k-1}+3 C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ &=C_{n+1}^{k}+C_{n+1}^{k-1}+2\left(C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2}\right)+C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ &=C_{n+1}^{k}+2 C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2} \\ &=C_{n+1}^{k}+C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2} \\ &=C_{n+3}^{k}+C_{n+3}^{k-1} \\ &=C_{n+4}^{k}+C_{n+3}^{k-1} \\ &=C_{n+4}^{k} \end{aligned}$

$\Rightarrow A=B-C_{n+4}^{k}+1=C_{n+4}^{k}-C_{n+4}^{k}+1=1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chứng minh $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

$\begin{array}{l}{V T=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}+\dfrac{n !}{(k+1) !(n-k-1) !}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !}\left(\dfrac{1}{n-k}+\dfrac{1}{k+1}\right)} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !} \cdot \dfrac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)}} \\ {=\dfrac{n !(n+1)}{k !(k+1)(n-k-1) !(n-k)}} \\ {=\dfrac{n !(n+1)}{k !(k+1)(n-k-1) !(n-k)}} \\ {=\dfrac{(n+1) !}{(k+1) !(n-k) !}=C_{n+1}^{k+1}=V P}\end{array}$

Ta có :

$\begin{aligned} & C_{n}^{k}+2 C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2} \\=& C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2} \\=& C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2} \\=& C_{k+2}^{n+2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} & C_{n}^{k}+3 C_{n}^{k+1}+3 C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3} \\=& C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}+2\left(C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2}\right)+C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3} \\=& C_{n+1}^{k+1}+2 C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3} \\=& C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+3} \\=& C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3} \\=& C_{n+3}^{k+3} \end{aligned}$

$\Rightarrow 2 C_{n}^{k}+5 C_{n}^{k+1}+4 C_{n}^{k+2}=C_{k+2}^{n+2}+C_{n+3}^{k+3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Vì $5=4+1=3+2=2+2+1=3+1+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$ nên ta có các trường hợp sau :

Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 số 0 đứng sau: Có 1 số

Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4 , một chữ số 1 và 2016 số 0 

- Khả năng 1 : Nếu số 4 đứng đầu thì số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{1}$ số

- Khả năng 2 : Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có  $C_{2017}^{1}$ số

Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 số 0

- Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có  $C_{2017}^{1}$ số

- Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có  $C_{2017}^{1}$ số

Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 số 0

- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có  $A_{2017}^{2}$ số

- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{2}$ số

Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự trường hợp 4 ta có $A_{2017}^{2}+C_{2017}^{2}$ số

Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 số 0

- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{3}$ số

- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước nó thì hai số 1 còn lại đứng ở 2016 vị trí còn lại nên ta có $C_{2016}^2$

- Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có $A_{2016}^{2}$ số

Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữu số 1 và 2013 số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên 4 chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2017 vị trí còn lại nen ta có $C_{2017}^4$ số

Áp dụng quy tắc cộng ta có $1+4 C_{2017}^{1}+2\left(C_{2017}^{2}+A_{2017}^{2}\right)+\left(C_{2017}^{3}+A_{2016}^{2}+C_{2016}^{2}\right)+C_{2017}^{4}$ số cần tìm 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

ĐK: $x, y \in \mathbb{N} ; x \leq y$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{2 A_{y}^{x}+5 C_{y}^{x}=90} \\ {5 A_{y}^{x}-2 C_{y}^{x}=80}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{A_{y}^{x}=20} \\ {C_{y}^{x}=10}\end{array}\right.\right.$

Từ $A_{y}^{x}=x ! C_{y}^{x}$ suy ra $x !=\dfrac{20}{10}=2 \Leftrightarrow x=2$

Từ $A_{y}^{2}=20 \Leftrightarrow y(y-1)=20 \Leftrightarrow y^{2}-y-20=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{y=-4(L)} \\ {y=5}\end{array}\right.$

Vậy $x=2 ; y=5$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ ta có:

$C_{n+2}^{n-1}+C_{n+2}^{n}>\dfrac{5}{2} A_{n}^{2} \Leftrightarrow C_{n+3}^{n}>\dfrac{5}{2} A_{n}^{2} \Leftrightarrow \dfrac{(n+3) !}{n ! 3 !}>\dfrac{5}{2} \dfrac{n !}{(n-2) !}$

$\Leftrightarrow n\left(n^{2}-9 n+26\right)+6>0$ luôn đúng với mọi $n \geq 2$

Vậy nghiệm của bất phương trình $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}{n \in \mathbb{N}} \\ {n \geq 3}\end{array}\right.$

Ta có: $C_{n+1}^{2}+2 C_{n+2}^{2}+2 C_{n+3}^{2}+C_{n+4}^{2}=149$

$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \dfrac{(n+1) !}{2 !(n-1) !}+2 \dfrac{(n+2) !}{2 ! n !}+2 \dfrac{(n+3) !}{2 !(n+1) !}+\dfrac{(n+4) !}{2 !(n+2) !}=149} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(n+1) n}{2}+\dfrac{2(n+2)(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+3)(n+2)}{2}+\dfrac{(n+4)(n+3)}{2}=149}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow n^{2}+n+2\left(n^{2}+3 n+2\right)+2\left(n^{2}+5 n+6\right)+n^{2}+7 n+12=298} \\ {\Leftrightarrow 6 n^{2}+24 n-270=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=5(T M)} \\ {n=-9(L)}\end{array}\right.}\end{array}$

Do đó: $M=\dfrac{A_{6}^{4}+3 A_{5}^{3}}{6 !}=\dfrac{3}{4}$

Đáp án: D