Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {\frac{{4x + 3}}{{2x - 5}} < 6} \\ \n  {\frac{{x - 1}}{{x + 3}} > 2} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  \frac{{4x + 3}}{{2x - 5}} - 6 < 0 \hfill \\\n  \frac{{x - 1}}{{x + 3}} - 2 > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  \frac{{4x + 3 - 12x + 30}}{{2x - 5}} < 0 \hfill \\\n  \frac{{x - 1 - 2x - 6}}{{x + 3}} > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  \frac{{ - 8x + 33}}{{2x - 5}} < 0 \hfill \\\n  \frac{{ - x - 7}}{{x + 3}} > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left( { - \infty ;{\text{ }}\frac{5}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{33}}{8};{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\\n  x \in \left( { - 7;{\text{ }} - 3} \right) \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - 7;{\text{ }} - 3} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D
\[\left. \begin{gathered}
  \left| {3x - 2} \right| \geqslant 0,\forall x \hfill \\
  \left( {{x^2} + 1} \right) > 0,\forall x \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \left| {3x - 2} \right|\left( {{x^2} + 1} \right) \geqslant 0,\;\forall x \in \mathbb{R}\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D
Xét dấu phá trị tuyệt đối:
 
TH1. $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$
$\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right| > 7$ ​​​​​​​

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \hfill \\\n   - \left( {x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right) > 7 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \hfill \\\n   - 2x + 3 > 7 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \hfill \\\n  x <  - 2 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)$.
TH2. $x \in \left[ { - 1;{\text{ }}4} \right)$
$\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right| > 7$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left[ { - 1;{\text{ }}4} \right) \hfill \\\n  \left( {x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right) > 7 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left[ { - 1;{\text{ }}4} \right) \hfill \\\n  5 > 7 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset$.
TH3. $x \in \left[ {4;{\text{ }} + \infty } \right)$
$\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right| > 7$ ​​​​​​​

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left[ {4;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\\n  \left( {x + 1} \right) + \left( {x - 4} \right) > 7 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left[ {4;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\\n  2x - 3 > 7 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  x \in \left[ {4;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\\n  x > 5 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow x \in \left( {5;{\text{ }} + \infty } \right)$.
Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : $T = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {5;{\text{ }} + \infty } \right).$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét dấu phá trị tuyệt đối:
 
TH1. $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)$
$\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 1} \right| < x - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \hfill \\    - \left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right) < x - \frac{3}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \hfill \\    - 3 < x - \frac{3}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \hfill \\   x >  - \frac{3}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $.
TH2. $x \in \left[ { - 2;{\text{ 1}}} \right)$

$\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 1} \right| < x - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left[ { - 2;{\text{ 1}}} \right) \hfill \\   \left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right) < x - \frac{3}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left[ { - 2;{\text{ 1}}} \right) \hfill \\   2x + 1 < x - \frac{3}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left[ { - 2;{\text{ 1}}} \right) \hfill \\   x <  - \frac{5}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset$.
TH3. $x \in \left[ {1;{\text{ }} + \infty } \right)$
$\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 1} \right| < x - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left[ {1;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\   \left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right) < x - \frac{3}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left[ {1;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\   3 < x - \frac{3}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   x \in \left[ {1;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\   x > \frac{9}{2} \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{9}{2};{\text{ }} + \infty } \right)$
Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : $T = \left( {\frac{9}{2};{\text{ }} + \infty } \right)$ .

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B
\[\left| {\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right| < 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} < 3 \hfill \\
  \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} >  - 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} - 3 < 0 \hfill \\
  \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} + 3 > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{ - 2{x^2} - 6x - 2}}{{{x^2} + x + 1}} < 0 \hfill \\
  \frac{{4{x^2} + 4}}{{{x^2} + x + 1}} > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]
\[\left\{ \begin{gathered}
  \frac{{ - 2\left( {x - \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {x - \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} < 0 \hfill \\
  \frac{{4\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right) \hfill \\
  x \in \left( { - \infty ;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]\[ \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A    
\[\left| {\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right| \geqslant 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 4}} \geqslant 1 \hfill \\
  \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 4}} \leqslant  - 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 4}} - 1 \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 4}} + 1 \leqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \frac{{ - 5x + 8}}{{{x^2} - 4}} \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{2{x^2} - 5x}}{{{x^2} - 4}} \leqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  \frac{{ - 5x + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{x\left( {2x - 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \leqslant 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  x \in \left( { - \infty ;{\text{ }} - 2} \right) \cup \left[ {\frac{8}{5};{\text{ }}2} \right) \hfill \\
  x \in \left( { - 2;{\text{ }}0} \right] \cup \left( {2;{\text{ }}\frac{5}{2}} \right] \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C
$\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x - 1} \right| - x - 2}}{{x + 2}} < 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x - 1 < 0 \hfill \\\n  \frac{{ - \left( {x - 1} \right) - x - 2}}{{x + 2}} < 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x - 1 \geqslant 0 \hfill \\\n  \frac{{\left( {x - 1} \right) - x - 2}}{{x + 2}} < 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x < 1 \hfill \\\n  \frac{{ - 2x - 1}}{{x + 2}} < 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x \geqslant 1 \hfill \\\n  \frac{{ - 3}}{{x + 2}} < 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  x \in \left( { - \infty ;{\text{ }} - 2} \right) \cup \left( { - \frac{1}{2};{\text{ }}1} \right) \hfill \\\n  x \in \left[ {1;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$

$ \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;{\text{ }} - {\text{2}}} \right) \cup \left( { - \frac{1}{2};{\text{ }} + \infty } \right)$

$\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;{\text{ }} - 2} \right) \cup \left( { - 2;{\text{ }}0} \right] \cup \left[ {\frac{8}{5};{\text{ }}2} \right) \cup \left( {2;{\text{ }}\frac{5}{2}} \right]$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  a \ne 0 \hfill \\\n  \Delta \' = {m^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right) > 0 \hfill \\\n  {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{{2m}}{{m - 2}} > 0 \hfill \\\n  {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m + 3}}{{m - 2}} > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  m - 2 \ne 0 \hfill \\\n   - m + 6 > 0 \hfill \\\n  \frac{{2m}}{{m - 2}} > 0 \hfill \\\n  \frac{{m + 3}}{{m - 2}} > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$ 

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \ne 2\\\nm \in \left( { - \infty ;{\rm{ }}6} \right)\\\nm \in \left( { - \infty ;{\rm{ }}0} \right) \cup \left( {2;{\rm{ }} + \infty } \right)\\\nm \in \left( { - \infty ;{\rm{ }} - 3} \right) \cup \left( {2;{\rm{ }} + \infty } \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;{\rm{ }} - 3} \right) \cup \left( {2;{\rm{ }}6} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B
ycb $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  \Delta \' = {\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) > 0 \hfill \\\n  {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{m - 1}} \hfill \\\n  {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m - 3}}{{m - 1}} \hfill \\\n  \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}.{x_2} < 1 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  1 > 0 \hfill \\\n  \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{m - 1}} + \frac{{m - 3}}{{m - 1}} < 1 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \frac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{m - 1}} + \frac{{m - 3}}{{m - 1}} < 1$
$\Leftrightarrow \frac{{3m - 7}}{{m - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{3m - 7}}{{m - 1}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{2m - 6}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {1;{\text{ }}3} \right)$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C
    Ta có : $\sqrt {1 - x} \left( {mx - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n      1 - x > 0 \hfill \\\n      mx - 2 < 0 \hfill \\ \n    \end{gathered}  \right.$. Vậy (I) sai.
    Với m = 0 thì : $\left\{ \begin{gathered}\n      1 - x > 0 \hfill \\\n      mx - 2 < 0 \hfill \\ \n    \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n      x < 1 \hfill \\\n      0x < 2 \hfill \\ \n    \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x < 1$.
    Với m > 0 thì : $\left\{ \begin{gathered}\n      1 - x > 0 \hfill \\\n      mx - 2 < 0 \hfill \\ \n    \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n      x < 1 \hfill \\\n      x < \frac{2}{m} \hfill \\ \n    \end{gathered}  \right.$. Vậy (II) đúng.
    Với m < 0 thì : $\left\{ \begin{gathered}\n      1 - x > 0 \hfill \\\n      mx - 2 < 0 \hfill \\ \n    \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n      x < 1 \hfill \\\n      x > \frac{2}{m} \hfill \\ \n    \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \frac{2}{m} < x < 1$

$\left( {{\text{do }}m < 0{\text{ }} \Leftrightarrow \frac{2}{m} < 0 < 1} \right)$. 
Vậy (III) đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C

$\frac{{\left| {x + 2} \right| - x}}{x} \leqslant 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2} \right| - x}}{x} - 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + 2} \right| - 3x}}{x} \leqslant 0$ 

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x + 2 < 0 \hfill \\\n  \frac{{ - \left( {x + 2} \right) - 3x}}{x} \leqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x + 2 \geqslant 0 \hfill \\\n  \frac{{\left( {x + 2} \right) - 3x}}{x} \leqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x <  - 2 \hfill \\\n  \frac{{ - 4x - 2}}{x} \leqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\\n  \left\{ \begin{gathered}\n  x \geqslant  - 2 \hfill \\\n  \frac{{ - 2x + 2}}{x} \leqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  x \in \left( { - \infty ;{\text{ }} - {\text{2}}} \right) \hfill \\\n  x \in \left[ { - 2;{\text{ }}0} \right) \cup \left[ {1;{\text{ }} + \infty } \right) \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;{\text{ 0}}} \right) \cup \left[ {1;{\text{ }} + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C
Với $x < 13 \Leftrightarrow x - 13 < 0$ thì $\left| {\frac{2}{{x - 13}}} \right| > \frac{8}{9} \Leftrightarrow  - \frac{2}{{x - 13}} - \frac{8}{9} > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 18 - 8\left( {x - 13} \right)}}{{9\left( {x - 13} \right)}} > 0$$ \Leftrightarrow \frac{{ - 8x + 86}}{{9\left( {x - 13} \right)}} > 0 \Leftrightarrow  - 8x + 86 < 0 \Leftrightarrow x > \frac{{43}}{4}$.
Vì $x \in \mathbb{Z},\frac{{43}}{4} < x < 13$ nên $x \in \left\{ {11;{\text{ }}12} \right\}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B.
Ta có: $P =  - a + \sqrt a  =  - {\left( {\sqrt a } \right)^2} + \sqrt a  = \frac{1}{4} - {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} \leqslant \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D.
Ta có: ${x^2} - 5x + 9 = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} \geqslant \frac{{11}}{4};\forall x \in \mathbb{R}$.
Suy ra: $f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 5x + 9}} \leqslant \frac{8}{{11}}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{8}{{11}}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D.
$f\left( x \right) = x - {x^2} =  - \left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \leqslant \frac{1}{4}$ và $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm $x$, $y$. Ta có: $x + y \geqslant 2\sqrt {xy}  = 2\sqrt {36}  = 12$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm $x$, $y$. Ta có: $\sqrt {xy}  \leqslant \frac{{x + y}}{2} = 6$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm ${x^2}$ và ${y^2}$. Ta có:
$A = {x^2} + {y^2} \geqslant 2\sqrt {{x^2}{y^2}}  = 2\sqrt {{{\left( {xy} \right)}^2}}  = 4$. Đẳng thức xảy ra $x = y = \sqrt 2 $.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B.
Ta có: $\frac{1}{x} = a + \frac{1}{{a + 1}}$ và $\frac{1}{y} = b + \frac{1}{{b + 1}}$.
Suy ra: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \left( {a - b} \right)\left[ {1 - \frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \right]$
Do $a > b > 0$ nên $a + 1 > 1$ và $b + 1 > 1$ suy ra: $\frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}} < 1 \Rightarrow 1 - \frac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}} > 0$.
Vậy $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ do $x > 0$ và $y > 0$ nên $\frac{1}{x} > \frac{1}{y} \Leftrightarrow x < y$.