Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^3} - 2x^2+x + 7 < 0$” là mệnh đề:
A. $\forall x \in \mathbb{R}:{x^3} -2x^2+x + 7 \geq 0$
B. $\forall x \in \mathbb{R}:{x^3} -2x^2+x + 7 >0$
C. $\exists x \in \mathbb{R}:{x^3} -2x^2+x + 7 > 0$
D. $\exists x \in \mathbb{R}:{x^3} -2x^2+x + 7 \geq 0$
(Xem gợi ý)
Phủ định của $\forall$ là $\exists$, phủ định của $<$ là $\geq$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phủ định của $\forall$ là $\exists$, phủ định của $<$ là $\geq$.
Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề: “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^3} - 2x^2+x + 7 < 0$” là mệnh đề: “$\exists x \in \mathbb{R}:{x^3} -2x^2+x + 7 \geq 0$”.
Vậy đáp án là D.
Với giá trị nào của $x$ thì mệnh đề: “${x^2} - 4 = 0,\,x \in \mathbb{N}$” đúng.
A. $4$
B. $2$
C. $-2$
D. $\pm 2$
(Xem gợi ý)
Giải phương trình ${x^2} - 4 = 0$ với $x \in \mathbb{N}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${x^2} - 4 = 0,\,x \in \mathbb{N} \Leftrightarrow {x^2} = 4,\,x \in \mathbb{N}\Leftrightarrow x = 2$.
Vậy đáp án là B.
Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Tìm điều kiện để mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai.
A. $P$ đúng, $\overline{Q}$ đúng.
B.$P$ sai, $Q$ đúng.
C. $\overline{P}$ sai, $Q$ đúng.
D. $\overline{P}$ sai, $\overline{Q}$ sai.
(Xem gợi ý)
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $P$ đúng, $\overline{Q}$ đúng thì $P$ đúng, $Q$ sai. Do đó $P \Rightarrow Q$ sai.
+ $P$ sai, $Q$ đúng, do đó $P \Rightarrow Q$ đúng.
+ $\overline{P}$ sai, $Q$ đúng thì $P$ đúng, $Q$ đúng. Do đó $P \Rightarrow Q$ đúng.
+ $\overline{P}$ sai, $\overline{Q}$ sai thì $P$ đúng, $Q$ đúng. Do đó $P \Rightarrow Q$ đúng.
Vậy đáp án là A.
Cho tập $X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,0 < \,x\, \le \dfrac{{10}}{3}} \right\}$. Các phần tử của tập $X$ là:
A. $X =\left\{\pm1,\pm2,\pm3\right\}$
B. $X =\left\{0,1,2,3\right\}$
C. $X =\left\{1,2,3\right\}$
D. $X =\left\{1,2,3,4\right\}$
(Xem gợi ý)
Liệt kê các số nguyên $x$ mà $0 < \,x\, \le \dfrac{{10}}{3}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,0 < \,x\, \le \dfrac{{10}}{3}} \right\}$ nên các phần tử của tập $X$ là $X =\left\{1,2,3\right\}$.
Vậy đáp án là C.
Cho tập $X = {\rm{\{ }}-4,-6,-8,-10\} $. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $X = {\rm{\{ }}2k|\,k \in \mathbb{Z},-6 < k < -1\} $.
B. $X = {\rm{\{ }}-2(k + 1)|\,k \in \mathbb{N},1 \le k \le 4\} $.
C. $X = {\rm{\{ }}x|\,(x +4)(x +6)(x +8)(x +10) = 0\} $.
D. Cả ba đáp án trên.
(Xem gợi ý)
Liệt kê các phần tử của các tập hợp trên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $X = {\rm{\{ }}2k|\,k \in \mathbb{Z},-6< k <-1\} = {\rm{\{ }}-4,-6,-8,-10\} $.
+ $X = {\rm{\{ }}-2(k + 1)|\,k \in \mathbb{N},1 \le k \le 4\} = {\rm{\{ }}-4,-6,-8,-10\} $.
+ $X = {\rm{\{ }}x|\,(x +4)(x +6)(x +8)(x +10) = 0\} = {\rm{\{ }}-4,-6,-8,-10\} $.
Vậy đáp án là D.
Số phần tử của tập $A = \left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^n},\,\,n \in \mathbb{N}{^*}} \right\}$ là:
(Xem gợi ý)
Liệt kê các phần tử của tập $A$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
${( - 1)^1} = {( - 1)^3} = ... = {( - 1)^{2k + 1}} = - 1$.
${( - 1)^2} = {( - 1)^4} = ... = {( - 1)^{2k}} = 1$.
Do đó
+ Với $n = 2k + 1$ thì ${( - 1)^{2k + 1}} = - 1$.
+ Với $n = 2k$ thì ${( - 1)^{2k}} = 1$.
Từ đó suy ra $A = {\rm{\{ }} - 1,\,1\} $.
Vậy đáp án là C.
Cho tập hợp $A = \left\{ { - 1,1,3} \right\},\,B = \left\{ {x,1,y} \right\}$. Để $A = B$ thì tất cả các giá trị của $x, y$ là:
A. $x = - 1,y = 3$
B. $x = 3,y = -1$
C. $x = - 1,y = 3$ hay $x = 3,y = -1$.
D. Đáp án khác
(Xem gợi ý)
$A = B \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để $A=B$ thì $-1,3 \in B$ . Khi đó $x = - 1,y = 3$ hay $x = 3,y = -1$.
Vậy đáp án là C.
Cho hai tập $A = \left\{ {2,3,4,5,6} \right\}$, $B = \left\{ {2,4,5} \right\}$. Phần tử của tập hợp $\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right)$ là:
A. $\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right) = {\rm{\{ }}3,4,5{\rm{\} }}$
B. $\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right) = {\rm{\{ }}3,6{\rm{\} }}$
C. $\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right) = {\rm{\{ }}2,3,4,5,6{\rm{\} }}$
D. $\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right) =\emptyset$
(Xem gợi ý)
Tìm các phần tử của tập hợp $A \cap B$ và $A\backslash B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \in B \end{array} \right.$ nên $A \cap B = {\rm{\{ }}2,4,5\} $.
Lại có $x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \notin B \end{array} \right.$ nên $A\backslash B = {\rm{\{ }}3,6\} $.
Do đó $\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right) = {\rm{\{ }}2,3,4,5,6{\rm{\} }}$.
Vậy đáp án là C.
Cho $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\, - 1 < x < 5} \right\}$, $B = \left\{ {x \in \mathbb{Q}|\,(1 - 2x)({x^2} - 3x + 2) = 0} \right\}$, $C = \left\{ {2,3,4,5,6} \right\}$. Các phần tử của tập hợp $A \cap (B \cup C)$ là:
A. $A \cap (B \cup C) = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}$
B. $A \cap (B \cup C) = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}$
C. $A \cap (B \cup C) = \left\{ {\dfrac{1}{2},0,1,2,3,4,5,6} \right\}$
D. $A \cap (B \cup C) = \left\{ {1,2,3,4} \right\}$
(Xem gợi ý)
Tìm các phần tử của tập $A, B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$.
Lại có $(1 - 2x)({x^2} - 3x + 2) = 0 \Leftrightarrow (1 - 2x)(x - 1)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$ nên $B = \left\{ { \dfrac{1}{2},1,2} \right\}$ .
Từ đó ta có $B \cup C = \left\{ { \dfrac{1}{2},1,2,3,4,5,6} \right\}$. Do đó $A \cap (B \cup C) = \left\{ {1,2,3,4} \right\}$.
Vậy đáp án là D.
Cho $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\, - 1 < x < 5} \right\}$, $B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,(1 - 2x)({x^2} - 3x + 2) = 0} \right\}$. Các phần tử của tập hợp ${C_{A \cup B}}(B\backslash A)$ là:
A. ${C_{A \cup B}}(B\backslash A) = \left\{ {0,\dfrac{1}{2},1,2,3,4} \right\}$
B. ${C_{A \cup B}}(B\backslash A) = \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}$
C. ${C_{A \cup B}}(B\backslash A) = \left\{ {1,2} \right\}$
D. ${C_{A \cup B}}(B\backslash A) = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$
(Xem gợi ý)
Tìm các phần tử của tập $A, B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$.
Lại có $(1 - 2x)({x^2} - 3x + 2) = 0 \Leftrightarrow (1 - 2x)(x - 1)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$ nên $B = \left\{ {\dfrac{1}{2},1,2} \right\}$
Từ đó ta có $A \cup B = \left\{ {0,\dfrac{1}{2},1,2,3,4} \right\}$ và $B\backslash A = \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}$. Do đó ${C_{A \cup B}}(B\backslash A) = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$.
Vậy đáp án là D.
Cho $A, B $ là hai tập hợp khác rỗng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $A \backslash B \subset B$
B. $A \backslash B \subset A$
C. $(A \backslash B) \cap B \neq \emptyset$
D. $(A \backslash B) \subset (A \cap B)$
(Xem gợi ý)
$x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \notin B \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ta có $x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \notin B \end{array} \right.$ nên $A \backslash B \not\subset B$ và $A \backslash B \subset A$.
+ Ta có $x \in (A\backslash B) \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\backslash B\\ x \in B \end{array} \right. $nên $(A \backslash B) \cap B = \emptyset$.
+ Ta có $x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \notin B \end{array} \right.$ và $x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in A\\ x \in B \end{array} \right.$ nên $(A \backslash B) \not\subset (A \cap B)$.
Vậy đáp án là B.
Cho $A = \left( { 0,3} \right],\,B = \left( {2, + \infty } \right)$. Hãy xác định tập hợp $C_\mathbb{R}(A \cup B)$.
A. $(0,+\infty)$
D. $[0,+\infty)$
C. $(- \infty, 0)$
D. $(- \infty, 0]$
(Xem gợi ý)
$ \left( { a,b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\, a < x \le b} \right\}$
$ \left( {a, + \infty } \right)=\left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\,x > a} \right\}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A = \left( { 0,3} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\, 0 < x \le 3} \right\},\,B = \left( {2, + \infty } \right)=\left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\,x > 2} \right\}$nên $A \cup B =(0,+ \infty)$
Do đó $C_\mathbb{R}(A \cup B)=$$(- \infty, 0]$.
Vậy đáp án là D.
Cho $A=(-2,3), B=[0,7]$. Tìm tập hợp $(A \cap B) \cup (A \backslash B)$.
A. $(-2,3)$
B. $(-2,7)$
C. $(0,3)$
D. $(3,7]$
(Xem gợi ý)
Tìm các tập hợp $A \cap B, A \backslash B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A=(-2,3)=\left\{x \in \mathbb{R} | -2< x<3 \right\} , B=[0,7]=\left\{x \in \mathbb{R} | 0\le x\le 7 \right\} $
Do đó $A \cap B =\left\{x \in \mathbb{R} | 0 \le x < 3 \right\} $, $A \backslash B =\left\{x \in \mathbb{R} | -2 < x < 0 \right\} $ nên
$(A \cap B) \cup (A \backslash B)$$ =\left\{x \in \mathbb{R} | -2 < x < 3 \right\} $.
Vậy đáp án là A.
Cho $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\, {x^2} + 5x -6 \le 0} \right\},\,B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\, 3 {x^2} - 5x +2 > 0} \right\},\,C = \left( {- \infty,0 } \right]$. Hãy xác định tập hợp $A \cap B \cap C$.
A. $\left[-6,1\right]$
B. $\left(- \infty, \dfrac{2}{3}\right) \cup (1, +\infty)$
C. $[-6,0]$
D. $\left[-6, \dfrac{2}{3}\right) $
(Xem gợi ý)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\, {x^2} + 5x -6 \le 0} \right\}=\left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\,-6 \le x \le 1} \right\}=\left[-6,1\right]$
$B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,|\, 3 {x^2} - 5x +2 > 0} \right\}=\left\{x \in \mathbb{R} | x > 1 \text{ hoặc } x < \dfrac{2}{3} \right\}=\left(- \infty, \dfrac{2}{3}\right) \cup (1, +\infty)$.
Do đó $A \cap B=\left[-6, \dfrac{2}{3}\right) $ nên $A \cap B \cap C=\left[-6,0\right]$.
Vậy đáp án là C.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}= \mathbb{Q}$
B. $\mathbb{N} \cup \mathbb{Q}= \mathbb{Z}$
C. $\mathbb{N}^* \cap \mathbb{Z}=\mathbb{Z}$
D. $\mathbb{N}^* \cap \mathbb{Q}=\mathbb{N}^*$
(Xem gợi ý)
$\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ta có $1 \in \mathbb{Q}$ mà $1 \notin \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}$ nên $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \neq \mathbb{Q}$.
+ Do $\dfrac{1}{2} \in \mathbb{N} \cup \mathbb{Q}$ mà $\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ nên $\mathbb{N} \cup \mathbb{Q} \neq \mathbb{Z}$.
+ Do $-1 \in \mathbb{Z}$ mà $-1 \notin \mathbb{N}^* \cap \mathbb{Z}$ nên $\mathbb{N}^* \cap \mathbb{Z} \neq \mathbb{Z}$.
+ Ta có $\forall x \in \mathbb{N}^* \cap \mathbb{Q} \Rightarrow x \in \mathbb{N}^*$ và ngược lại cũng đúng nên $\mathbb{N}^* \cap \mathbb{Q}=\mathbb{N}^*$.
Vậy đáp án là D.
Dùng kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp sau $\left[ \begin{array}{l} m \ge 0\\ m < - 2 \end{array} \right.$.
A. $\left( { - \infty , - 2} \right)$
B. $\left[ {0, + \infty } \right)$
C. $\left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left[ {0, + \infty } \right)$
D. Không tồn tại $m$ thỏa mãn.
(Xem gợi ý)
$x \in A \cup B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \in A\\ x \in B \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left[ \begin{array}{l} m \ge 0\\ m < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \in \left[ {0, + \infty } \right)\\ m \in \left( { - \infty , - 2} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left[ {0, + \infty } \right)$.
Vậy đáp án là C.
Số dân của một tỉnh là $A=723199 \pm 200$ (người). Hãy tìm các chữ số chắc của số $A$.
A. 1, 9, 9
B. 7, 2, 3, 1
C. 7, 2, 3
D. $7, 2, 3, 1, 9$
(Xem gợi ý)
Trong cách ghi thập phân của $a$, ta nói chữ số $k$ là chữ số đáng tin của $a$ (hay chữ số chắc) nếu sai số tuyệt đối $\Delta_a$ không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số $k$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{100}{2}=50 < 200 < 500 =\dfrac{1000}{2}$ nên các chữ số 1, 9, 9 là các chữ số không chắc, các chữ số 7, 2, 3 là các chữ số chắc.
Vậy đáp án là C.
Độ dài các cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật là $x=7m \pm 2cm, y=10m \pm 4cm$. Số đo chu vi của mảnh vườn viết dưới dạng chuẩn là:
A. $34m \pm 12cm$
B. $34m \pm 0,12cm$
C. $33,88m \pm 12cm$
C. $34,12m \pm 12cm$
(Xem gợi ý)
Chu vi hình chữ nhật là $P=2(x+y)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x=7m \pm 2cm \Rightarrow 6,98m \le x \le 7,02m$, $y=10m \pm 4cm \Rightarrow 9,96m \le y \le 10,04m$.
Do đó chu vi hình chữ nhật là $P=2(x+y) \Rightarrow 33,88 \le P \le 34,12 \Rightarrow P=34m \pm 12cm$.
Vì $d=12cm=0,12m<0,5=\dfrac{1}{2}$ nên $4$ là chữ số chắc.
Do đó dạng chuẩn của chu vi là $34m \pm 12cm$.
Vậy đáp án là A.
Độ dài các cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật là $x=7m \pm 2cm, y=10m \pm 4cm$. Số đo diện tích của mảnh vườn viết dưới dạng chuẩn là:
A. $70,0008m \pm 48cm$
B. $70m \pm 48cm$
C. $70m \pm 0,48cm$
D. $70cm \pm 48cm$
(Xem gợi ý)
Diện tích hình chữ nhật là $S=x.y$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x=7m \pm 2cm \Rightarrow 6,98m \le x \le 7,02m$, $y=10m \pm 4cm \Rightarrow 9,96m \le y \le 10,04m$.
Do đó diện tích hình chữ nhật là $S=x.y \Rightarrow 69,5208 \le P \le 70,4808 \Rightarrow P=70,0008m \pm 48cm$.
Vì $d=48cm=0,48m<0,5=\dfrac{1}{2}$ do đó dạng chuẩn của diện tích là $70m \pm 48cm$.
Vậy đáp án là B.
