Với giá trị nào của $a$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 2a - 1 \end{array} \right.$ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x>y$?
A. $a > \dfrac{-1}{2}$
B. $a > \dfrac{1}{2}$
C. $a < \dfrac{1}{2}$
D. $a < \dfrac{-1}{2}$
(Xem gợi ý)
Giả hệ phương trình bàng phương pháp thế tìm được $x,y$ theo $a$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 1\\ x - y = 2a - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - y\\ (1 - y) - y = 2a - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - y\\ y = 1 - a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a\\ y = 1 - a \end{array} \right.$
Nên ta có $x > y \Leftrightarrow a > 1 - a \Leftrightarrow a > \dfrac{1}{2}$
Vậy đáp án đúng là B.
Không giải hệ, hãy cho biết trong những hệ phương trình sau hệ nào vô nghiệm?
A. $\left\{ \begin{array}{l} x - 3y = 5\\ x + y = 1 \end{array} \right.$
B. $\left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5\\ - x + y = 0 \end{array} \right.$
C. $\left\{ \begin{array}{l} x - y = 5\\ - 2x + 3y = 4 \end{array} \right.$
D. $\left\{ \begin{array}{l} x - 3y = 5\\ - x + 3y = 1 \end{array} \right.$
(Xem gợi ý)
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a’x + b’y = c’ \end{array} \right.$vô nghiệm khi $\dfrac{a}{{a’}} = \dfrac{b}{{b’}} \ne \dfrac{c}{{c’}}$ với $a’,b’,c’ \ne 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: $\dfrac{1}{1} \ne \dfrac{{ - 3}}{1} \ne \dfrac{5}{1}$
Đáp án B: $\dfrac{{ - 1}}{2} \ne \dfrac{1}{{ - 3}} \ne \dfrac{0}{5}$
Đáp án C: $\dfrac{1}{{ - 2}} \ne \dfrac{{ - 1}}{3} \ne \dfrac{5}{4}$
Đáp án D: $\dfrac{1}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 3}}{3} \ne \dfrac{5}{1}$
Vậy phương trình ở đáp án D vô nghiệm.
Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng sau trùng nhau $({d_1}):({m^2} - 1)x - y + 2m + 5 = 0$ và $({d_2}):3x - y + 1 = 0$
A. $m=2$
B. $m=-2$
C. $m=4$
D. $m=-1$
(Xem gợi ý)
Hai đường thẳng trùng nhau khi hệ hai phương trình của chúng có vô số nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n({m^2} - 1)x - y + 2m + 5 = 0\\\n3x - y + 1 = 0\n\end{array} \right.(*)$
Để $({d_1}) \equiv ({d_2})$ thì phương trình (*) phải có vô số nghiệm.
Dễ thấy để (*) có vô số nghiệm thì : $\left\{ \begin{array}{l}\n{m^2} - 1 = 3\\\n2m + 5 = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm = \pm 2\\\nm = - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2$
Vậy với $m=-2$ thì hai đường thẳng trùng nhau.
Đáp án đúng là B.
Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\x.y = P \end{array} \right.$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là gì?
A. ${S^2} - 2P \ge 0$
B. ${S^2} - P \ge 0$
C. ${S^2} - 4P \ge 0$
D. ${S^2} - 4P < 0$
(Xem gợi ý)
Theo Vi-et $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$.
Để hệ có nghiệm thì phương trình trên phải có nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta \ge 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + y = S\\ x.y = P \end{array} \right.$
Khi đó theo Vi-et thì $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$(*)
Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {S^2} - 4P \ge 0$
Vậy đáp án đúng là C.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x - y = 9\\ xy = 90 \end{array} \right.$ có nghiệm là:
A. $(-6;-15)$
B. $(15;6)$
C. $(15;6),(-6;-15)$
D. vô nghiệm
(Xem gợi ý)
Rút $y$$(x)$ từ phương trình trên thế vào phương trình dưới, tìm được $x$$(y)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 9\\ xy = 90 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = x - 9\\ x(x - 9) = 90 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = x - 9\\ {x^2} - 9x - 90 = 0 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = x - 9\\ \left[ \begin{array}{l} x = 15\\ x = - 6 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 15\\ y = 6 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 6\\ y = - 15 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(15;6),(-6;-15)$
Đáp án đúng là C.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + 2\left| y \right| = 0\\ x + y = - 3 \end{array} \right.$ có nghiệm:
A. $( - 6;3),( - 2; - 1)$
B. $( - 6;3)$
C. $( - 2; - 1)$
D. $( - 6;3),( 2; - 1)$
(Xem gợi ý)
C1:
TH1: $y \ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 0\\ x + y = -3 \end{array} \right.$
TH2: $y<0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 0\\ x + y = -3 \end{array} \right.$
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
$\left\{ \begin{array}{l} x + 2\left| y \right| = 0\\ x + y = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y \ge 0\\ x + 2y = 0\\ x + y = -3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} y < 0\\ x - 2y = 0\\ x + y = -3 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = - 6\\ y = 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $( - 6;3),( - 2; - 1)$
Đáp án đúng là A.
Cách 2: Thử nghiệm
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2(x + y) + 3(x - y) = 4\\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \end{array} \right.$ có nghiệm là:
A. $(x;y)=( - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{13}}{2})$
B. $(x;y)=( - \dfrac{1}{2}; \dfrac{{13}}{2})$
C. $(x;y)=( \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{13}}{2})$
D. $(x;y)=( \dfrac{1}{2}; \dfrac{{13}}{2})$
(Xem gợi ý)
C1: Đặt $u=x+y,v=x-y$, giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $u,v$.
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
Đặt $u=x+y,v=x-y$ phương trình đã cho trở thành
$\left\{ \begin{array}{l} 2u + 3v = 4\\ u + 2v = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2(5 - 2v) + 3v = 4\\ u = 5 - 2v \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v = 6\\ u = 5 - 2v \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v = 6\\ u = - 7 \end{array} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = - 7\\ x - y = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\ y = \dfrac{{ - 13}}{2} \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=( - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{13}}{2})$
Đáp án đúng là A.
Cách 2: Thử nghiệm
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{3}{{x + 1}} - \dfrac{4}{{y - 1}} = 1\\\n\dfrac{5}{{x + 1}} + \dfrac{6}{{y - 1}} = 8\n\end{array} \right.$ là:
A. $(x;y) = (1;3)$
B. $(x;y) = (0;3)$
C. $(x;y) = (0;-3)$
D. $(x;y) = (3;0)$
(Xem gợi ý)
C1: Đặt $X = \dfrac{1}{{1 + x}},Y = \dfrac{1}{{y - 1}}$ giải hệ phương trình bậc nhất tìm được $X,Y$. Suy ra $x,y$
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
ĐKXĐ: $x \ne - 1;y \ne 1$
Đặt: $X = \dfrac{1}{{1 + x}},Y = \dfrac{1}{{y - 1}}$ khi đó phương trình đã cho trở thành
$\left\{ \begin{array}{l}\n3X - 4Y = 1\\\n5X + 6Y = 8\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nX = 1\\\nY = \frac{1}{2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{1}{{x + 1}} = 1\\\n\dfrac{1}{{y - 1}} = \frac{1}{2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 0\\\ny = 3\n\end{array} \right.$(TM)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y) = (0;3)$
Đáp án đúng là B.
Cách 2: Thử nghiệm
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3xy + {y^2} + 2x + 3y - 6 = 0(1)\\ 2x - y = 3(2) \end{array} \right.$ có nghiệm là:
A. $(2;2),(3;3)$
B. $(1;1),(3;3)$
C. $(2;1),(3;3)$
D. $(3;3)$
(Xem gợi ý)
C1: Rút $y$ ở phương trình (2) thế vào phương trình (1) giải phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được $x$. Thay vào (2) tìm được $y$.
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3xy + {y^2} + 2x + 3y - 6 = 0\\ 2x - y = 3 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3xy + {y^2} + 2x + 3y - 6 = 0\\ y = 2x - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x(2x - 3) + {(2x - 3)^2} + 2x + 3(2x - 3) - 6 = 0\\ y = 2x - 3 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 6 = 0\\ y = 2x - 3 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 3 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(2;1);(3;3)$
Đáp án đúng là C.
Cách 2: Thử nghiệm
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1(1)\\ y = x + m(2) \end{array} \right.$ có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
A. $m = - \sqrt 2 $
B. $m = 2 $
C. $m = \sqrt 2 $
D. $m = \pm \sqrt 2 $
(Xem gợi ý)
Thế $y$ từ (2) vào (1) được phương trình bậc hai ẩn $x$. Khi đó hệ có một nghiệm $ \Leftrightarrow $ phương trình đó có 1 nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thế $y = x + m$ vào phương trình ${x^2} + {y^2} = 1$ ta được:
$2{x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0$(*) có $\Delta\' = - {m^2} + 2$
Hệ có một nghiệmkhi và chỉ khi (*) có một nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \' = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 $
Vậy đáp án đúng là D.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5 \end{array} \right.$ có nghiệm là:
A. $(1;2), (2;1)$
B. $(1;2)$
C. $(2;1)$
D. $(1;2), (-2;-1)$
(Xem gợi ý)
C1: Đặt $S=x+y, P=xy$ $({S^2} - 4P \ge 0)$. Giải hệ tìm được $S, P$. Áp dụng định lý Vi-et tìm $x,y$
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
Đặt $S=x+y, P=xy$ $({S^2} - 4P \ge 0)$
$\left\{ \begin{array}{l} S + P = 5\\ {S^2} - 2P = 5 \end{array} \right. \Rightarrow {S^2} - 2(5 - S) = 5 \Rightarrow {S^2} + 2S - 15 = 0$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} S = - 5\\ S = 3 \end{array} \right.$
$\begin{array}{l} S = - 5 \Rightarrow P = 10(L)\\ S = 3 \Rightarrow P = 2(TM) \end{array}$
Khi đó $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 1\\ X = 2 \end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(1;2), (2;1)$
Đáp án đúng là A.
Cách 2: Thử nghiệm
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n2x + 3y + 4 = 0(1)\\\n3x + y - 1 = 0(2)\\\n2mx + 5y - m = 0(3)\n\end{array} \right.$có duy nhất 1 nghiệm
A. $m=10$
B. $m=1$
C. $m=-10$
D. $m=0$
(Xem gợi ý)
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất nếu nghiệm của hệ (1)(2) là nghiệm của (3).
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\n2x + 3y + 4 = 0\\\n3x + y - 1 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 1\\\ny = - 2\n\end{array} \right.$
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n2x + 3y + 4 = 0\\\n3x + y - 1 = 0\\\n2mx + 5y - m = 0\n\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất khi $(1;-2)$ là nghiệm của phương trình
$2mx + 5y - m = 0$ tức là $2m+5(-2)-m=0$$\Rightarrow m = 10$
Vậy với $m=10$ thì hệ có duy nhất một nghiệm.
Đáp án đúng là A.
Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc xe gồm 3 loại, xe chở 3 tấn , xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở 3 chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe chở 5 tấn ba chuyến và xe chở 3 tấn hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại?
A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5 tấn
B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn
C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn
D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5 tấn
(Xem gợi ý)
Gọi $x$ là số xe tải chở 3 tấn
$y$ là số xe tải chở 5 tấn
$z$ là số xe tải chở 7,5 tấn
Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 57\\3x + 5y + 7,5z = 290\\22,5z = 6x + 15y \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $x$ là số xe tải chở 3 tấn
$y$ là số xe tải chở 5 tấn
$z$ là số xe tải chở 7,5 tấn
($x,y,z$ nguyên dương)
Theo giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 57\\3x + 5y + 7,5z = 290\\22,5z = 6x + 15y \end{array} \right.$
Sử dụng MTBT ta tìm được $(x;y;z) = (20;19;18)$
Vậy có 20 xe chở 3 tấn,19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn
Đáp án đúng là B.
Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
A. Lớp 10A có 40 em, lớp 10b có 43 em, lớp 10C có 45 em
B. Lớp 10A có 45 em, lớp 10b có 43 em, lớp 10C có 40 em
C. Lớp 10A có 45 em, lớp 10b có 40 em, lớp 10C có 43 em
D. Lớp 10A có 43 em, lớp 10b có 40 em, lớp 10C có 45 em
(Xem gợi ý)
Gọi số học sinh của lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là $x,y,z$
Theo đề bài ta lập được hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 128\\ 3x + 2y + 6z = 476\\ 4x + 5y = 375 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số học sinh của lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là $x,y,z$ ($x,y,z$ nguyên dương)
Theo đề bài ta lập được hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 128\\ 3x + 2y + 6z = 476\\ 4x + 5y = 375 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 40\\ y = 43\\ z = 45 \end{array} \right.$
Vậy số học sinh lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là 40, 43, 45
Đáp án đúng là A.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2(1)\\x - y = 5a - 2(2) \end{array} \right.$ có nghiệm $x,y$ với $x<0$ khi và chỉ khi:
A. $a>0$
B. $a<0$
C. $a<2$
D. $a>-1$
(Xem gợi ý)
Rút $y$ từ (1) thế vào (2) tìm được $x$ theo $a$. Tìm được $a$ thỏa mãn yêu cầu đề bài
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ x - y = 5a - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2 - x\\ x - (2 - x) = 5a - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2x = 5a \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}a$
Để hệ có nghiệm $x<0$ suy ra $\dfrac{5}{2}a < 0 \Rightarrow a < 0$
Vậy đáp án đúng là B.
Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau $\dfrac{{24}}{5}$ giờ sẽ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi 1 chảy được bằng $\dfrac{3}{2}$ lần lượng nước của vòi thứ 2. Hỏi vòi thứ hai chảy riêng một mình thì bao lâu sẽ đầy bể?
(Xem gợi ý)
$x $ là số phần lượng nước của bể vòi 1 chảy trong 1h ($x<1$)
$y$ là số phần lượng nước của bể vòi 2 chảy trong 1h ($y<1$)
Trong 1h hai vòi chảy được $\dfrac{5}{{24}}$ bể
Theo đề bài ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{5}{{24}}\\x = \dfrac{3}{2}y \end{array} \right. $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $x $ là số phần lượng nước của bể vòi 1 chảy trong 1h ($x<1$)
$y$ là số phần lượng nước của bể vòi 2 chảy trong 1h ($y<1$)
Trong 1h hai vòi chảy được $\dfrac{5}{{24}}$ bể
Theo đề bài ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = \dfrac{5}{{24}}\\x = \dfrac{3}{2}y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{8}\\y = \dfrac{1}{{12}} \end{array} \right.$
Vậy vòi thứ hai chảy riêng một mình thì sau 12h sẽ đầy bể.
Đáp án đúng là C.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left|{x - 1} \right| + y = 0\\2x - y = 5 \end{array} \right.$ có nghiệm là
A. $(x;y)=(-2;-1)$
B. $(x;y)=(2;1)$
C. $(x;y)=(2;-1)$
D. vô nghiệm
(Xem gợi ý)
$\left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 1} \right| + y = 0\\ 2x - y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 - 2x \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 5 - 2x\\ x - 1 = - 5 + 2x \end{array} \right.\\ 2x - y = 5 \end{array} \right. $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 1} \right| + y = 0\\ 2x - y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 - 2x \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 5 - 2x\\ x - 1 = - 5 + 2x \end{array} \right.\\ 2x - y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \frac{5}{2}\\ \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\\ 2x - y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = - 1 \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=(2;-1)$
Đáp án đúng là C.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{1}{x} = y + 5x\\\n\dfrac{1}{y} = x + 5y\n\end{array} \right.$ có bao nhiêu cặp nghiệm $(x;y)$ mà $x \ne y$?
A. $(\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2})$
B. $( - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$
C. $(\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}),( - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$
D. $(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}),( - \dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne 0,y \ne 0$
$\left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{1}{x} = y + 5x\\\n\dfrac{1}{y} = x + 5y\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n5{x^2} + xy = 1\\\n5{y^2} + xy = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n5{x^2} + xy = 1\\\n(x - y)(x + y) = 0\n\end{array} \right.$
Do $x \ne y$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\n5{x^2} + xy = 1\\\n(x - y)(x + y) = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n4{x^2} = 1\\\ny = - x\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{1}{2}\\\ny = - \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx = - \dfrac{1}{2}\\\ny = \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$
Vậy hệ có nghiệm là $(\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}),( - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$
Đáp án đúng là C.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1(1)\\ y = x + m(2) \end{array} \right.$ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi:
A. $m = \pm \sqrt 2 $
B. không có giá trị $m$ thỏa mãn
C. $m = \sqrt 2 $
D. $m = - \sqrt 2 $
(Xem gợi ý)
Thế $y$ ở phương trình (2) vào (1) được phương trình bậc hai ẩn $x$.
Hệ phương trình có một nghiệm khi và chỉ khi phương trình đó có một nghiệm hay $\Delta = 0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${x^2} + {(x + m)^2} = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0(*)$
Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
hay $\Delta \' = m{x^2} - 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 $
Vậy với $m = \pm \sqrt 2 $ thì hệ phương trình có một nghiệm.
Đáp án đúng là A.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} xy + x + y = 11\\ {x^2}y + x{y^2} = 30 \end{array} \right.$
A. Có 1 nghiệm
B. Có 2 nghiệm
C. Có 3 nghiệm
D. Có 4 nghiệm
(Xem gợi ý)
Đặt $S = x + y,P = xy$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} S + P = 11\\ SP = 30 \end{array} \right.$
áp dụng Vi-et tìm $S,P$ sau đó suy ra $x,y$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $S = x + y,P = xy$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} S + P = 11\\ SP = 30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} S = 6\\ P = 5 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Với $S=6, P=5$ thì $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 6X + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 5\\ X = 1 \end{array} \right.$
hệ có hai nghiệm $(1;5),(5;1)$
Với $S=5,P=6$ thì $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 2\\ X = 3 \end{array} \right.$
hệ có hai nghiệm $(2;3), (3;2)$
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Đáp án đúng là D
